一、三类新的高阶非线性常微分方程的求解定理（论文文献综述）
刘伟[1]（2020）在《非凸问题鞍点计算的新算法及其应用研究》文中指出本文研究非凸问题鞍点计算的新算法及其应用,主要内容分为四个部分.第一部分,我们研究计算无约束鞍点的基于新的优化策略的局部极小极大方法（LMM）.首先,我们给出一类推广的局部极小极大原理,并从连续动力学的角度理解LMM能以稳定方式计算不稳定鞍点的数学本质.然后,我们在使用一般下降方向的LMM算法框架下,系统地讨论各种步长搜索准则的可行性,并建立完整的全局收敛性结果.这使得各种高效的优化策略可以应用到LMM算法中.特别地,我们提出全局收敛的Barzilai-Borwein（BB）型LMM、共轭梯度型LMM和L-BFGS型LMM三类新的LMM算法,用于改进传统LMM算法的计算效率.最后,我们将新的LMM算法应用于几类半线性椭圆边值问题、带非线性边界条件的椭圆问题和Kirchhoff型拟线性非局部问题的多解计算,并比较不同LMM算法的数值性能.广泛的数值结果表明,这三类新的LMM算法能显着地提高传统LMM算法的计算效率.第二部分,我们研究计算无约束鞍点的基于新的优化策略的虚拟几何对象型LMM（VGOLMM）.首先,基于对一类广义的VGOLMM动力系统的分析,我们提出使用一般下降方向的广义VGOLMM算法框架,并在这一框架下讨论不同步长搜索准则及相应的全局收敛性.许多高效的优化策略可以用于实现该VGOLMM算法框架.由于BB策略的简单性和高效性,我们提出使用BB型步长的VGOLMM算法.最后,我们将新的VGOLMM算法应用于散焦型非线性Schr?dinger方程和一类Allen-Cahn型奇异摄动Neumann问题的多解计算,得到了丰富的数值结果.数值结果表明,使用BB型步长的VGOLMM算法比原始VGOLMM算法的收敛更快.第三部分,我们研究计算玻色-爱因斯坦凝聚体（BEC）基态解的精确、高效的新算法.BEC的基态解通常定义为相应的Gross-Pitaevskii（GP）能量泛函在某些约束条件下的最小值点,离散归一化梯度流法（GFDN,或虚时间演化法）是计算BEC基态解的最主要的方法之一.我们以单组分BEC和spin-1 BEC模型为例,通过分析和数值实验说明,采用基于GFDN的几种典型时间离散格式计算BEC基态往往会得到误差依赖于时间步长的不准确的结果,这是本文的一个重要发现.为了改进GFDN,我们提出计算BEC基态解的带Lagrange乘子的梯度流法（GFLM）,并证明基于GFLM的各种典型的时间离散格式均能与基态解的Euler-Lagrange方程精确匹配.进一步,我们将GFLM推广到具有挑战性的一般spin-F BEC模型,并研究确定投影常数的方法.由于精确投影方法往往在计算上比较复杂或缺乏投影常数的存在唯一性保证,我们提出两类非精确投影策略,使得投影常数可以直接显式计算,并估计它们的约束违反度.最后,我们给出spin-1,spin-2和spin-3情形的广泛的数值结果以及观测到的一些非常有趣的基态现象.第四部分,我们研究计算约束鞍点的新算法并应用于BEC激发态计算.首先,我们提出计算一般约束鞍点的约束最柔上升动力学（CGAD）方法,证明其稳定平衡点是具有对应指标的约束鞍点,并对一类理想化的CGAD建立约束鞍点附近的局部指数收敛性.然后,我们将CGAD应用到BEC模型的激发态计算.由于BEC的激发态对应于GP能量泛函在某些约束条件下的能量高于基态的临界点,因此GP能量泛函的约束鞍点一定是激发态解.我们应用CGAD计算单组分BEC模型对应的GP能量泛函在单位球面约束下的鞍点,并设计基于（半隐）向后向前Euler时间离散格式和Gram-Schmidt正交规范化过程的高效数值格式.最后,我们基于一维和二维数值实验,发现了一些新的激发态解和有趣的物理现象.
刘娟[2]（2020）在《切换Lur’e时滞系统的绝对稳定性》文中研究说明Lur’e控制系统是一类典型的非线性控制系统,在飞行器控制、航空航天控制、液压伺服控制等许多领域具有十分广泛的工程实际背景.对Lur’e系统的研究始于20世纪40年代,由前苏联着名科学家Lur’e在研究飞行器自动驾驶仪时提出.切换系统在控制界的各个领域都有广泛的应用.在其他领域,如生物生态科学、社会科学、交通运输、能源环境等领域也大量存在.如,生物细胞的生长与死亡、飞行器的起飞、穿越与降落,服务器在等候网络缓冲区的切换等等.近年来,切换系统的研究受到越来越多学者的关注.切换Lur’e时滞系统,作为一类含有切换的Lur’e时滞系统,在实际生活中有很广泛的应用.如Hopfield神经网络,Lotka-Volterra生态系统,变结构系统等.基于此,切换Lur’e时滞系统稳定性的研究具有较高的理论与实践意义.本文主要针对切换Lur’e时滞系统的绝对稳定性进行研究,采用不同的研究方法,设计合适的切换信号及李雅普诺夫函数,给出相应结论并进行数学推导及证明,并用Matlab软件进行算法求解、数值仿真等.文章主要内容安排如下:第一章主要介绍了文章的研究背景、国内外研究现状和发展趋势及本文主要内容.第二章为预备知识,主要介绍本文证明过程中用到的一些定义、引理及相关性质,包括系统稳定性理论的基本概念和方法、切换信号设计的基本方法等.第三章主要研究了一类线性切换Lur’e时滞系统的绝对稳定性问题.韩庆龙首先研究了此类不含切换的特殊Lur’e时滞系统的绝对稳定性.对于单个系统（m=1）的研究,舍弃了交叉项与模型变换方法,通过选取一类合适的李雅普诺夫函数并适当对其导数进行定界,得出了单个Lur’e时滞系统（m=1）绝对稳定的充分条件.我们考虑了切换Lur’e时滞系统的绝对稳定性,即在多个子系统之间设计合适的切换规则,考察新的系统（m≥1）的稳定性.本章中,我们构造了合适的Lyapunov-Kraosvskii泛函,在前人的基础上,进一步探讨了Lyapunov-Kraosvskii泛函的定界方法,并利用ADT法设计合适的切换信号,使得子系统在切换之后仍然是稳定的.结果表明,本章的方法一方使得Lur’e时滞系统具有更好的稳定性,减少了已有稳定性结论的保守性并将其结论进行了拓展;另一方面扩大了系统的最大允许时滞上界.第四章针对不确定切换Lur’e常时滞系统绝对稳定性问题进行深入研究.一方面,对于单个不确定Lur’e常时滞系统（m=1）绝对稳定性的研究,韩庆龙、董越、吴敏、何勇、曾红兵等通过不同的方法相继进行了研究与改进,得到了单个不确定Lur’e常时滞系统绝对稳定性的充分条件;另一方面,对于切换时滞系统的稳定性研究,一般的方法为选取合适的李雅普诺夫函数,考虑其导数的上界,通过不同的方法对其进行界定,然后结合切换规则的设计,寻找切换时滞系统稳定的条件.值得说明的是,有时李雅普诺夫函数往往使得稳定性条件中相关正定对称矩阵的求解灵活度较低,求解过程较难.综上,本章中我们一方面将单个不确定Lur’e常时滞系统（m=1）拓展至多个不确定Lur’e常时滞系统（m≥1）,研究不确定切换Lur’e常时滞系统绝对稳定性,致力于考虑切换规则对于系统性能的影响,提高系统的最大允许时滞上界;另一方面,寻找新的Lyapunov函数,使得LMIs的求解更为灵活,正定对称矩阵具有更高的弹性.首先把时滞区间分解成n个相等的子区间,然后结合二重积分,构造了一个合适的Lyapunov-Kraosvskii泛函,并借助积分不等式及MDADT法,得到了基于LMIs技术的绝对稳定性判据,改进了相关文献中的结论.特别地,在处理李雅普诺夫泛函导数界的时候,用积分不等式代替了一般的自由权矩阵理论.最后,利用数值算例进行了模拟仿真,表明本章的结论一方面拓宽了一般的不确定Lur’e常时滞系统的绝对稳定性,提高了系统的最大允许时滞上界,另一方面,与一般的研究切换时滞系统所选取的李雅普诺夫函数相比,我们的李雅普诺夫容易得到,求解的灵活性提高.第五章研究了含有不稳定子系统的切换Lur’e变时滞系统（m≥1）的绝对稳定性.对于此类单个子系统的Lur’e变时滞系统绝对稳定的研究由韩庆龙首次进行研究,通过选取李雅普诺夫函数给出了系统绝对稳定的充分条件.事实上,在现实生活中存在较多不稳定的Lur’e变时滞系统,对于此类系统,本章中我们通过将不稳定子系统与稳定子系统进行联合,研究新的系统（m≥1）的稳定性,一方面设计子系统间的切换规则使得系统绝对稳定,另一方面,切换规则的不同设计也使得稳定子系统的稳定性能得到提高.首先,构造了合适的李雅普诺夫函数,并通过新的引理对李雅普诺夫函数导数的上界进行适当的界定,减弱了条件的保守性.特别地,当变时滞是满足一定条件的可微函数时,得到更好的结果.接着,考虑不稳定子系统的作用并设计适当的切换信号,通过控制稳定子系统与不稳定子系统运行时间比例,达到整个系统的绝对稳定.最后,我们通过数值模拟仿真,给出了本章结论的可行性与优越性.第六章将第四章的模型进行了一般性的拓展,并在此基础上利用不同的方法进一步研究了不确定切换Lur’e变时滞系统绝对稳定性问题,得到了更为一般的结果.其中,时滞满足连续可微的条件,且下界为0,所涉及的不确定参数是范数有界的.在第四章中,在对李雅普诺夫函数的导数进行界定时,积分项的处理过程中直接忽略了某些有用的积分项,从而使得结果具有一定的保守性.鉴于此,本章中,我们构造了合适的Lyapunov-Kraosvskii泛函,并借助牛顿-莱布尼茨公式,通过引入新的自由权矩阵,对Lyapunov-Kraosvskii泛函的导数进行定界,在此过程中,并没有直接忽略任何积分项.其次,运用MDADT法设计切换信号,得到了基于LMI技术的时滞相关的绝对稳定性判据.自由权矩阵理论和MDADT法使得LMI解的可行域更宽,即所得稳定性条件保守性更小.数值仿真说明了所得结果减少了已有文献结果的保守性.第七章是本文的工作总结和未来工作设想.
张晓宁[3]（2013）在《一些非线性发展方程的行波解》文中指出随着近代物理对孤立子和混沌问题的研究,不断地涌现出一大批具有非线性色散或耗散的崭新的非线性发展方程,这类方程的诸多精确解合理地解释了相关的自然现象,极大地推动了相关学科如物理学、生物科学、流体力学以及工程技术等的发展,所以这类方程的求解成为广大科学工作者研究非线性问题必须面临的课题。目前,国内外的许多研究者在这个课题上做了大量的工作,也提出了许多行之有效的求解非线性方程的方法：Darboux变换,Bakhund变换方法,齐次平衡方法,函数展开方法,G/GG展开法等等。这些方法都在非线性发展方程中得到广泛的应用,求出了许多重要的非线性方程的精确解。本文基于此目的,描述了G/G展开法及其扩展和扩展的直接代数法,并利用扩展的G/G展开法和扩展的直接代数法来求解KdV-Burgers复合方程、变形Boussinesq方程组、（3+1）维Kadomtsev-Petviashvili方程和Klein-Gordon-Schrodinger方程的新的行波解。
甘欣荣,甘泉[4]（2013）在《若干高阶微分方程的解》文中认为利用已知的恒等式,借助变量替换、迭代等方法,得到几类新的高阶微分方程,给出相应的通解公式,获得的结论是有关文献结果的拓广与深化.
李帮庆[5]（2013）在《一类稀松介质中高频波传播的非线性系统的研究》文中研究指明充分运用并扩展近些年发展起来的若干符号计算算法,如Hirota双线性法、（G’/G）展开法、Riccati映射法、辅助方程法等,研究了有明确工程应用背景的非线性Vakhnenko系统及其几类扩展系统.这些系统能较好的描述高频波在稀松介质中的传播和演化过程.得到了这些系统的新精确孤立波、多孤立波和激发波解.通过对参数的适当设置,研究了这些非线性系统的孤立波、多孤立波和激发波的传播、演化、交互过程及其控制,发现了若干新的交互形式.这些结果将成为工程应用的基础,有一定的应用价值.
甘欣荣,汤光宋[6]（2012）在《扩大的积分微分方程组的解》文中提出提出几类扩大的积分微分方程组,利用函数迭代法及变上限函数的求导法则,证明其可积性,得出相应的求解公式.
薛婷婷,刘文斌[7]（2012）在《一类高阶微分方程的通积分求解方法》文中认为采用函数的迭代方法,将一类高阶微分方程的通积分求解转化为微分方程组的求解,应用克莱姆法则及积分法,求得原微分方程的通积分公式,推广了有关文献的结果.
邱春雨[8]（2011）在《几类反问题的正则化方法研究》文中指出反问题往往是不适定问题,特别是数据的微小改变会导致解的巨大变化.因此在反问题的研究中,人们最关心的是恢复解的稳定性.为了解决这一问题,数学家们引入了各种正则化方法,如Tikhonov正则化方法, Landweber迭代正则化方法等等.近些年来,一些非经典的正则化方法出现在了反问题的研究中,如Fourier截断方法,小波方法等等.本文利用两类非经典的正则化方法对几类反问题进行较系统的研究,在理论上给出收敛性分析,并且对其数值求解给出可行的算法.全文共分为四章.第一章对反问题和正则化理论做了简要的介绍.第二章对于一类非特征Cauchy问题进行了研究.我们首先将问题转化为第二类积分方程,对于这一积分方程我们通过三种方法,即积分方程方法、Fourier截断方法和改进的积分方程方法分别构造了它的近似问题.我们证明了所构造的三个近似问题的适定性,即解的存在性,唯一性和稳定性.最后,对于每一种方法我们都给出了问题的近似解与准确解之间的误差估计.第三章考虑了小波方法在三类反问题中的应用.首先考虑了反向时间扩散问题.对于这一问题,我们利用了小波投影方法,将给定数据投影到小波空间Vj中,并利用投影数据计算了近似解,给出了近似解的稳定性分析.然后我们又分别考虑了时间分数次逆扩散问题和空间分数次反向扩散问题.由于小波投影方法只对数据进行了投影,所以得到的近似解不能保证属于小波空间巧.为了克服这一缺点,我们将小波和Galerkin方法相结合，也即利用小波-Galerkin方法处理了后两类问题,将解强制在小波空间Vj之中,并给出了此时的近似解与准确解之间的收敛性分析.第四章考虑前两章所给出方法的数值实现.对于非特征Cauchy问题,我们利用线方法,将问题看做常微分方程初值问题并对其进行正则化和离散化；对于小波投影方法,由于能够得到解的解析表达式,过程相对简单.我们仅对数据进行投影和滤波,然后利用解的表达式直接进行了求解.而对后两类方程,通过直接求解Galerkin方法得到的无穷维常微分方程组的有限维近似.其中的矩阵Dj由同时在时间分数次导数或空问分数次导数的差分近似矩阵的两边作用小波变换得到.数值模拟的效果显示,我们所给出的方法都获得了原问题的很好近似.
崔琳[9]（2011）在《有关非线性发展方程求解方法及其精确解的研究》文中进行了进一步梳理本文主要研究了以下三方面的问题:首先介绍了非线性演化方程的孤立子解,给出了新Jacobi椭圆函数法,形变映射法和改进的截断展开法及它们在非线性方程中的应用.第二方面,介绍了达布变换（Darboux）基本思想及其在非线性发展方程族中的应用.最后研究了孤子方程MKdV-Burgurs鞍点与结点.本文由四章组成:第一章介绍了非线性发展方程的一般形式,孤立子产生的历史背景,孤立子理论对非线性发展方程求解方法的影响,同时介绍了李群理论对非线性发展方程显示解求法的影响.第二章介绍了非线性发展方程的几种求解方法及其应用.其中,首先介绍了新Jacobi椭圆函数法,并以Zakharov方程为例说明了新Jacobi椭圆函数法的应用,同时求得了Zakharov方程的12种椭圆方程解。其次,应用形变映射法给出了一类MKdV方程精确解。其中,分别介绍了一类MKdV方程的孤波解,周期波解,幂函数解和Jacobi椭圆函数解.再次,介绍了形变映射法在求解变系数MKdV方程新的精确解中的应用.同时也简单介绍了变系数MKdV方程的孤波解,周期波解,幂函数解和Jacobi椭圆函数解。最后介绍了改进的截断展开法,并应用其求出了变系数MKdV方程的精确解.第三章,介绍了达布变换（Darboux）,并求解了JM方程族的自贝克隆变换,同时得到了JM方程的新解.第四章通过对孤子方程MKdV-Burgurs的行波变换,求得了MKdV-Burgurs方程的鞍点与结点.
甘欣荣[10]（2010）在《一类可积的微分方程》文中研究表明本文系统地研究了一类线性泛函微分方程（组）的基本理论.利用分析原理,借助变量替换,迭代等方法,讨论这类方程一些非线性情形的可解性和解的性质,获得相应的通解公式.推广了有关文献的结果.
二、三类新的高阶非线性常微分方程的求解定理（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、三类新的高阶非线性常微分方程的求解定理（论文提纲范文）
（1）非凸问题鞍点计算的新算法及其应用研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| ABSTRACT |
| 1 绪论 |
| 第二章 基于新的优化策略的局部极小极大方法(LMM) |
| 2.1 推广的局部极小极大原理与LMM的动力学观点 |
| 2.1.1 推广的局部极小极大原理 |
| 2.1.2 LMM的动力学观点 |
| 2.2 使用一般下降方向的LMM算法及其全局收敛性 |
| 2.2.1 使用一般下降方向的LMM算法框架 |
| 2.2.2 标准化Armijo、Goldstein和Wolfe-Powell型搜索准则 |
| 2.2.3 非单调搜索准则 |
| 2.2.4 全局收敛性分析 |
| 2.3 三类高效的LMM算法 |
| 2.3.1 全局收敛的Barzilai-Borwein型LMM(GBBLMM) |
| 2.3.2 共轭梯度型LMM(CGLMM) |
| 2.3.3 L-BFGS型LMM(LBFGSLMM) |
| 2.4 应用于非线性边值问题的多解计算 |
| 2.4.1 半线性椭圆Dirichlet边值问题 |
| 2.4.2 带非线性边界条件的椭圆问题 |
| 2.4.3 Kirchhoff型拟线性非局部问题 |
| 第三章 基于新的优化策略的虚拟几何对象型LMM |
| 3.1 使用虚拟几何对象的LMM(VGOLMM)介绍 |
| 3.2 基于广义VGOLMM动力系统的局部极小极大原理 |
| 3.3 基于新的优化策略的VGOLMM及其全局收敛性 |
| 3.3.1 广义VGOLMM算法框架 |
| 3.3.2 几种典型的搜索准则 |
| 3.3.3 全局收敛性分析 |
| 3.3.4 基于BB型步长的VGOLMM算法 |
| 3.3.5 虚拟曲线的实现方法 |
| 3.4 应用于几类W-型问题的多解计算 |
| 3.4.1 散焦型非线性Schr?dinger方程 |
| 3.4.2 Allen-Cahn型奇异摄动Neumann问题 |
| 第四章 计算玻色-爱因斯坦凝聚体基态解的新算法 |
| 4.1 GFDN方法的局限性及其改进:带 Lagrange乘子的梯度流法(GFLM) |
| 4.1.1 计算单组分BEC基态解的GFDN方法介绍 |
| 4.1.2 计算单组分BEC基态解的GFLM方法 |
| 4.1.3 多组分BEC情形(以spin-1 BEC为例) |
| 4.1.4 spin-1 BEC的数值结果 |
| 4.2 计算一般spin-F BEC基态解的GFLM方法 |
| 4.2.1 一般spin-F BEC的数学模型和一类广义的CNGF |
| 4.2.2 计算一般spin-F BEC基态解的GFLM算法框架 |
| 4.2.3 非精确投影策略及其约束违反度估计 |
| 4.2.4 数值结果 |
| 第五章 计算约束鞍点的新算法和BEC激发态模拟 |
| 5.1 约束鞍点的定义与不稳定性指标 |
| 5.2 计算一般约束鞍点的约束最柔上升动力学(CGAD)方法 |
| 5.2.1 最柔上升动力学(GAD)介绍 |
| 5.2.2 约束最柔上升动力学(CGAD) |
| 5.2.3 计算高指标约束鞍点的CGAD |
| 5.3 应用CGAD方法计算单组分BEC激发态 |
| 5.3.1 线性单组分BEC模型的激发态性质 |
| 5.3.2 计算单组分BEC激发态的CGAD及其离散格式 |
| 5.3.3 数值结果 |
| 总结和未来工作展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间完成论文情况 |
| 致谢 |
（2）切换Lur’e时滞系统的绝对稳定性（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景及研究意义 |
| 1.2 研究现状及发展趋势 |
| 1.3 本文的主要工作及结构安排 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 符号约定 |
| 2.2 主要概念及引理 |
| 第三章 线性切换Lur'e时滞系统的绝对稳定性 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 主要结果 |
| 3.2.1 绝对稳定性 |
| 3.2.2 状态反馈稳定 |
| 3.3 数值模拟 |
| 3.4 结论与总结 |
| 第四章 基于MDADT的非线性切换Lur'e时滞系统的绝对稳定性 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 主要结果 |
| 4.3 数值模拟 |
| 4.4 结论与总结 |
| 第五章 含有不稳定子系统的切换Lur'e时滞系统的绝对稳定性 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 主要结果 |
| 5.3 数值模拟 |
| 5.4 结论与总结 |
| 第六章 切换变时滞Lur'e系统的绝对稳定性 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 主要结果 |
| 6.3 数值模拟 |
| 6.4 结论与总结 |
| 第七章 总结与展望 |
| 7.1 本文工作总结 |
| 7.2 未来工作设想 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| 后记和致谢 |
（3）一些非线性发展方程的行波解（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 目录 |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 非线性偏微方程求解研究现状 |
| 1.3 非线性发展方程及行波解的简介 |
| 2 G'/G展开法的简介 |
| 2.1 G'/G展开法 |
| 2.2 扩展的G'/G展开法的一般步骤 |
| 3 扩展的G'/G展开法的应用 |
| 3.1 KdV-Burgers复合方程 |
| 3.1.1 KdV-Burgers复合方程 |
| 3.1.2 复合KdV方程 |
| 3.1.3 mKdV方程 |
| 3.1.4 KdV-Burgers方程 |
| 3.2 变形Boussinesq方程组 |
| 3.3 (3+1)维Kadomtsev-Petviashvili方程 |
| 4 扩展的直接代数法及应用 |
| 4.1 扩展的直接代数法的一般步骤 |
| 4.2 扩展的直接代数法的应用 |
| 5 结论与展望 |
| 6 参考文献 |
| 致谢 |
（4）若干高阶微分方程的解（论文提纲范文）
| 1 主要结论 |
| 2 应用 |
（5）一类稀松介质中高频波传播的非线性系统的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 详细摘要 |
| Detailed Abstract |
| 目录 |
| 1 引言 |
| 1.1 非线性演化系统及其相关性质 |
| 1.1.1 非线性演化系统 |
| 1.1.2 KdV方程与孤立波 |
| 1.1.3 孤立波与孤子 |
| 1.1.4 非线性演化系统的精确解 |
| 1.2 非线性演化系统的激发 |
| 1.2.1 孤立波的激发 |
| 1.2.2 孤子、混沌与分形的关系 |
| 1.3 非线性Vakhnenko系统及其国内外研究现状 |
| 1.3.1 稀松介质中高频波传播的非线性Vakhnenko系统模型 |
| 1.3.2 Vakhnenko系统的国内外研究现状 |
| 1.4 论文的研究内容及主要创新点 |
| 1.5 论文的章节结构 |
| 2 (G'/G)展开法与修正广义Vakhnenko系统的孤立波及其参数控制 |
| 2.1 二阶线性常微分方程 |
| 2.1.1 常微分方程的基本概念 |
| 2.1.2 阶线性常微分方程及其解的结构 |
| 2.1.3 阶常系数齐次线性常微分方程 |
| 2.2 (G'/G)展开法 |
| 2.3 (G'/G)展开法与Vakhnenko系统的精确孤立波解 |
| 2.4 修正广义Vakhnenko系统的孤立波 |
| 2.4.1 对修正广义Vakhnenko系统一个变换 |
| 2.4.2 修正广义Vakhnenko系统的孤立波解 |
| 2.5 系统参数对修正广义Vakhenko系统孤波的控制 |
| 2.5.1 参数β对孤波的控制 |
| 2.5.2 参数p对孤波的控制 |
| 2.5.3 参数q对孤波的控制 |
| 2.5.4 参数κ对系统的控制 |
| 2.5.5 参数λ,μ对系统的控制 |
| 2.6 本章小节 |
| 3 Vakhnenko系统的激发波与控制 |
| 3.1 扩展的(G'/G)展开法 |
| 3.2 Vakhnenko系统的广义行波解 |
| 3.3 Vakhnenko系统的激发孤立波 |
| 3.3.1 周期波的激发 |
| 3.3.2 环形孤立波的激发 |
| 3.4 本章小节 |
| 4 一类广义Vakhnenko系统的激发与控制 |
| 4.1 Riccati映射法 |
| 4.1.1 Tanh函数展开法 |
| 4.1.2 Riccati映射法 |
| 4.2 一类广义Vakhnenko系统的广义行波解 |
| 4.3 单环孤立波激发控制 |
| 4.4 双环孤立波的激发控制 |
| 4.5 本章小节 |
| 5 广义扩展Vakhnenko系统多孤立波及其相互影响 |
| 5.1 Hirota双线性法 |
| 5.1.1 Hirota双线性算子及其性质 |
| 5.1.2 Hirota双线性法 |
| 5.1.3 改进的Hirota双线性法求解 |
| 5.2 改进的Hirota双线性法的一个应用 |
| 5.2.1 耗散Zabolotskaya-Khokhlov系统 |
| 5.2.2 耗散Zabolotskaya-Khokhlov系统的光滑N孤立波 |
| 5.2.3 耗散Zabolotskaya-Khokhlov系统的奇异N孤立波 |
| 5.2.4 耗散Zabolotskaya-Khokhlov系统的N孤立波演化与交互 |
| 5.3 扩展广义Vakhnenko系统的多孤立波 |
| 5.3.1 扩展广义Vakhnenko系统的单孤立波 |
| 5.3.2 扩展广义Vakhnenko系统的二孤立波 |
| 5.3.3 扩展广义Vakhnenko系统的三孤立波 |
| 5.4 扩展广义Vakhnenko系统孤立波间的交互 |
| 5.4.1 双孤立波交互 |
| 5.4.2 三孤立波交互 |
| 5.5 本章小节 |
| 6 修正广义Vakhnenko系统的行波与孤立波特性 |
| 6.1 F展开法 |
| 6.1.1 F展开法的求解步骤 |
| 6.2 修正广义Vakhnenko系统的Jacobi函数行波解与孤立波解 |
| 6.3 修正广义Vakhnenko系统的行波与孤立波特性 |
| 6.4 本章小结 |
| 7 结论与展望 |
| 7.1 结论 |
| 7.2 展望 |
| 参考文献 |
| 博士学习期间发表论文 |
| 个人简历 |
| 致谢 |
（6）扩大的积分微分方程组的解（论文提纲范文）
| 1 引 言 |
| 2 求解定理 |
| 3 定理的证明 |
（8）几类反问题的正则化方法研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 第一章 引言 |
| 1.1 反问题简介 |
| 1.2 正则化理论 |
| 1.3 本文研究的主要问题 |
| 第二章 非特征Cauchy问题 |
| 2.1 简介 |
| 2.2 积分方程方法 |
| 2.3 Fourier截断方法 |
| 2.4 改进的积分方程方法 |
| 第三章 Meyer小波方法在几类反问题中的应用 |
| 3.1 Meyer小波 |
| 3.2 反向热传导问题 |
| 3.3 时间分数次方程 |
| 3.4 空间分数次方程 |
| 第四章 数值实现 |
| 4.1 非特征Cauchy问题的数值实现 |
| 4.2 小波方法的数值实现 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（9）有关非线性发展方程求解方法及其精确解的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 引言 |
| 1.1 孤立子产生的历史背景 |
| 1.2 孤立子理论对非线性发展方程显示解求法的影响 |
| 1.3 李群理论对非线性发展方程显示解求法的影响 |
| 1.3.1 计算机在求解非线性方程中的作用 |
| 1.4 本文研究的主要内容 |
| 2 非线性发展方程的几种求解方法及其应用 |
| 2.1 新Jacobi 椭圆函数法在求非线性偏微分方程的孤子解中的应用 |
| 2.1.1 新Jacobi 椭圆函数法 |
| 2.1.2 新Jacobi 椭圆函数法在Zakharov 方程中应用 |
| 2.1.3 Zakharov 方程的椭圆方程解 |
| 2.2 形变映射法在求解非线性偏微分方程孤立子解中的应用 |
| 2.2.1 形变映射法 |
| 2.2.2 形变映射法在一类MKdV 方程中的应用 |
| 2.2.3 变系数MKdV 方程的精确类孤子解 |
| 2.3 改进的截断展开法及其应用 |
| 2.3.1 改进的截断展开法 |
| 2.3.2 改进的截断展开法在变系数MKdV 方程中的应用 |
| 3 JM 方程族的Darboux 变换 |
| 4 孤立子方程MKdV-Burgers 的鞍点与结点 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间发表学术论文情况 |
| 致谢 |
四、三类新的高阶非线性常微分方程的求解定理（论文参考文献）
- [1]非凸问题鞍点计算的新算法及其应用研究[D]. 刘伟. 湖南师范大学, 2020(01)
- [2]切换Lur’e时滞系统的绝对稳定性[D]. 刘娟. 吉林大学, 2020(08)
- [3]一些非线性发展方程的行波解[D]. 张晓宁. 郑州大学, 2013(11)
- [4]若干高阶微分方程的解[J]. 甘欣荣,甘泉. 河北大学学报(自然科学版), 2013(01)
- [5]一类稀松介质中高频波传播的非线性系统的研究[D]. 李帮庆. 中国矿业大学（北京）, 2013(08)
- [6]扩大的积分微分方程组的解[J]. 甘欣荣,汤光宋. 大学数学, 2012(02)
- [7]一类高阶微分方程的通积分求解方法[J]. 薛婷婷,刘文斌. 五邑大学学报(自然科学版), 2012(01)
- [8]几类反问题的正则化方法研究[D]. 邱春雨. 兰州大学, 2011(06)
- [9]有关非线性发展方程求解方法及其精确解的研究[D]. 崔琳. 辽宁师范大学, 2011(04)
- [10]一类可积的微分方程[J]. 甘欣荣. 数学杂志, 2010(06)