一、一维扩散方程扩散系数的变分同化估计（论文文献综述）
张玮[1]（2021）在《基于元胞自动机的河流水质模拟及数据同化研究》文中研究说明河流包含了地球表面近75%的水,作为地表水的重要流动通道,承担着将水输送到各地的任务,在水循环中扮演着无可取代的重要角色,河流水质在很大程度上决定人们生产生活的质量。然而由于全球气候变化和人类活动的增加,河流水质前景不容乐观,河流水质管理仍是水环境领域急需关注的问题。观测和模拟是目前河流水质管理中两种不可或缺的方式,但两种方法各有利弊,观测得到的水质数据准确性高,但数据很难实现时空连续,不符合河流水质动态管理的要求,模拟可以得到时空连续的数据,但精度较低。因此,如何综合两方面的优点,得到较为准确的时空连续的水质数据,对于河流水环境管理具有重要意义。对此,本文从水质模型的构建和模型的数据同化两部分进行研究,研究内容包括:（1）利用元胞自动机模型（CA）进行水质模拟。将污染物在河流中的输移扩散过程通过CA模型进行表达,将转换规则分为水流运动规则和输移扩散规则:基于水力学方程和逻辑规则建立水流运动规则;在考虑水流运动影响的前提下,基于扩散方程建立污染物输移扩散规则。最后在MATLAB平台实现河流水质CA模型的编译集成,实现模型输入、污染物输移扩散计算和结果输出。（2）数据同化算法与河流水质CA模型的结合。从集合卡尔曼滤波算法的各个参数选择出发,介绍对CA模型进行数据同化的步骤。以污染物浓度为状态变量,河道水质监测站点的实测污染物浓度数据为观测数据,将集合大小设为30,CA模型误差设为20%,观测误差设为30%,初步探究数据同化技术对河流水质CA模型精度改善的程度。（3）模型应用研究。将构建的水质CA模型以及其对应的数据同化方案在小清河干流睦里闸至黄台桥段应用,模拟COD的浓度。分别从河流整体COD浓度分布图和个别监测站点浓度曲线观察,发现水质模拟结果符合实际扩散规律,并且定量对比实测COD浓度值之后发现,模拟误差在合理范围内。在将集合卡尔曼滤波与CA模型结合之后发现,在出现观测数据的时刻,修正后的模拟结果发生跳跃,使得模拟轨迹整体靠近真实情况,COD浓度值更加接近实测数据,说明数据同化是提高河流水质CA模型精度的有效方法。综合来说,元胞自动机模型避免了传统基于物理方程的水质模型的复杂求解过程,计算效率高,并且可以根据实际河道条件很方便的调整转换规则及各部分参数,具有实用价值。另外利用数据同化技术能够提高水质模拟精度,在未来水质精确化管理中具有良好的研究前景。
单秀杰[2]（2021）在《几类偏微分方程图像去噪模型及求解算法》文中研究说明随着科学技术的快速发展,数字图像已被广泛应用于遥感航天、临床医学等领域。图像去噪作为图像处理领域最基本的问题之一,其结果对图像处理后续任务,如图像分割、特征提取以及目标识别等起着至关重要的作用。如何在有效去噪的同时保持图像细节是一个很具挑战性的问题。基于偏微分方程（Partial Differential Equation,PDE）的图像去噪方法由于具有丰富的理论背景和较好的实验效果,且可与深度学习、变分、滤波等方法相结合,因而得到了广泛关注。但该方法仍面临诸多挑战:无法有效恢复乘性噪声严重污染图像;纹理图像去噪PDE模型研究不充分;PDE去噪模型快速求解算法设计困难等。本文针对以上挑战,结合乘性噪声特性和分数阶Fick定律,分别对乘性噪声严重污染图像和乘性噪声纹理图像进行PDE建模及求解算法研究。进一步基于预处理和子空间收缩技术,对低场核磁共振（Magnetic Resonance,MR）图像PDE去噪模型设计快速求解算法。主要研究内容如下:首先,针对乘性噪声严重污染图像的去噪问题,本文提出了一种具有光滑解的非线性扩散方程去噪模型。模型的核心在于构造一个基于图像梯度值和灰度值的非线性扩散系数,其中梯度用于估计图像边缘信息,灰度值信息用于更好地保护图像低灰度值区域特征。同时在新构造的扩散系数中使用卷积正则化克服方程可能出现的退化或奇性。本文利用Schauder不动点定理证明模型弱解的存在性。与其他扩散去噪模型不同,本文进一步给出了解的光滑性,这一特性使得模型可被多种数值算法稳定求解。本文利用快速显式扩散方法、算子分裂技术以及基于Fourier变换的谱方法对模型进行加速求解。与经典变分和PDE去噪模型的实验对比表明,新模型在处理图像中较高水平的乘性噪声时具有更好的去噪效果。其次,针对包含乘性Gamma噪声的纹理图像去噪问题,本文提出了一种基于分数阶Fick定律的空间分数阶扩散方程去噪模型。新模型的机理在于使用Riemann-Liouville分数阶导数构造含分数阶纹理探测算子的扩散流,分数阶扩散流的非局部性使得模型在去除乘性噪声时能够保持纹理细节。不同于分数阶变分模型,新模型避免求解分数阶对偶算子,计算复杂度低,这一构造思想为分数阶扩散方程去噪模型提供了新的研究思路。针对该模型的求解方法,本文利用Grünwald-Letnikov逼近对模型进行有限差分离散,针对产生的非稀疏系数矩阵线性系统,使用快速显式扩散方法加速求解。利用系数矩阵的特征值估计,得到了快速显式扩散算法的数值稳定性。实验对比表明,新模型在对乘性噪声污染的纹理图像去噪时能够有效保持纹理细节。最后,针对低场MR图像PDE去噪模型,本文提出了基于Krylov子空间的快速求解算法。由于PDE去噪模型中的扩散系数会影响迭代矩阵条件数,因而常用的隐式迭代求解方法可能需要更多迭代次数才能收敛。本文使用预处理器来近似迭代矩阵以减小其条件数,同时利用子空间收缩技术去除迭代矩阵的孤立特征值,提升共轭梯度（Conjugate Gradient,CG）法收敛速度,得到PDE去噪模型求解的快速算法。并对预处理矩阵进行分析得到矩阵条件数,实现预处理共轭梯度法迭代次数的预估,该值可被用于验证数值实验正确性,进一步提升算法稳定性。实验结果表明,新算法在求解MR图像PDE去噪模型时,具有很高的计算效率和实际应用价值。
张钰姝[3]（2021）在《基于复扩散滤波和深度学习的地震勘探噪声压制模型研究及应用》文中研究表明高质量地震勘探数据对于探测地下结构、地质成像及进一步探查地下资源至关重要。在数据采集过程中地震检波器不仅会采集到弱有效地震信号,同时会接收到大量地震勘探随机噪声,导致地震勘探数据信噪比低且地震信号难以识别。因此,压制地震勘探数据中的随机噪声以提高地震数据质量是地震勘探信号处理的基础环节。此外,地震勘探随机噪声性质受地表条件和采集环境的影响,不同测区地震勘探随机噪声特性差异明显,对地震随机噪声压制方法的鲁棒性和有效性提出更高的要求。本文重点研究低信噪比地震勘探记录中非平稳、非高斯和低频随机噪声压制问题,提出基于复数域扩散滤波和深度卷积神经网络的复杂地震勘探随机噪声滤除方案。针对非平稳随机噪声压制与地震有效信号保留问题,本文提出了结构自适应复扩散滤波算法,实现信号增强-噪声消减的滤波过程。复数域锐化扩散方法由线性扩散项和锐化项组成,在演化过程中可产生充当结构引导算子的虚部,且不受噪声非平稳性质的影响,可实现非平稳噪声的滤除。但是复数域锐化扩散滤波方法的扩散项对地震勘探随机噪声和地震有效信号实施恒定的扩散强度,这会严重平滑复杂地震纹理结构。本文首先采用结构张量提取地震纹理结构特征,通过研究结构张量的参数,使其适应浅层和深层地震数据的纹理结构特点,获得可引导扩散系数的地震同相轴结构信息和方向信息。其次,在地震同相轴结构信息引导下,本文构建了梯度方向上扩散系数的阈值函数,并进一步利用阈值函数与虚部协同调节梯度方向上的扩散系数。最后,针对陡峭地震同相轴较平缓同相轴衰减程度更大的问题,在梯度方向复扩散系数的基础上,本文进一步利用地震同相轴方向信息来引导一致性方向上扩散系数,当地震同相轴越陡峭时扩散强度越小,从而在压制噪声的同时达到有效保护地震信号的作用,改善陡峭地震同相轴幅值衰减的问题。针对低信噪比情况下非平稳地震强随机噪声压制问题,本文基于深度卷积神经网络与随机噪声局部平稳的特性,提出了块去噪卷积神经网络模型框架。深度卷积神经网络在图像去噪处理领域性能优越,然而大多由特定噪声水平训练而成,难以适应低信噪比情况下非平稳地震强随机噪声的滤除。本文将基于图像块的去噪方式应用于深度卷积神经网络中,将图像块聚类和多卷积神经网络去噪相结合,该联合去噪的框架既保证了模型的去噪性能,又保证了对非平稳地震强随机噪声的适应性。为了实现非平稳地震强随机噪声滤除与地震复杂纹理结构保护两者的平衡,本文进一步提出了以结构统计量为导向的模型选择准则,自动且高效地选择每类图像块匹配的卷积神经网络模型,从而在保护复杂形态地震同相轴的同时压制非平稳强随机噪声。针对强低频地震随机噪声与地震有效信号波形相似的问题,本文基于扩散滤波方法的去噪灵活性与深度卷积神经网络的深层特征提取能力,将两者相结合,构建了深度复数域反应扩散模型。复数域锐化扩散方法依赖数据幅值变化而实施滤波,因此仅使用复数域扩散方法难以描述强低频随机噪声与地震信号的特征差异,从而会严重干扰滤波过程,而深度学习网络具备提取数据深层特征的能力,且深层特征相比较数据的中低层特征更能表征强低频随机噪声与地震信号的差异。但是深度学习网络的性能易受训练数据集的限制,对当前待处理实际数据缺乏一定的适应性。本文在复数域锐化扩散方法基础上引入反应项,并将深度学习网络嵌入到反应项中,从地震训练数据集中学习有效信号的深层结构特征,以区分强低频随机噪声和地震信号,使反应项能够增强期望的信号。其次,随着反应项不断反馈有效信号,沙漠强低频随机噪声与地震信号的相似性被减弱,复数域锐化方法的扩散项和锐化项能够逐渐恢复噪声滤除和信号增强能力,而且这同时也缓解了深度学习网络在处理与训练集不同的数据时所存在的适应性问题,因此深度复数域反应扩散模型的扩散项、锐化项和反应项能够实现协同作用,在滤除强低频随机噪声的同时能够保护有效地震同相轴。本文在研究复数域锐化扩散方法和深度学习网络性能的基础上,针对低信噪比情况下复杂地震勘探随机噪声压制的不足,提出了不同测区地震勘探随机噪声优化消噪方案,并在仿真实验和实际地震记录处理基础上,对所提方案的性能进行分析比较,验证了所提方案在信噪比提高、复杂地震随机噪声压制以及有效地震信号保护等方面取得的成效,为复数域非线性扩散滤波方法与深度学习网络模型在地震数据处理中的应用提供了新的思路。
宋晓燕[4]（2020）在《分数阶偏微分方程反问题的若干研究》文中研究指明本篇博士论文主要研究了几类与分数阶偏微分方程有关的反问题.在Tikhonov正则化和贝叶斯推断的框架下,我们考虑了时间分数阶扩散方程反问题,含有异类介质的多项时间分数阶扩散方程反问题以及空间-时间非局部扩散方程反问题.首先,考虑混合参数正则化方法对于反问题的影响.我们将L2+BV的正则化方法应用到时间分数阶扩散方程中反应系数的识别问题中,用以克服反问题的不适定性,重构不同性质的未知参数.我们证明解算子（Forward operator）关于模型输入是连续的.在Tikhonov正则化的框架下,我们分析了相应变分泛函极小子的存在性和稳定性.最后,我们给出了一些数值算例来说明相应正则化算法的有效性.其次,我们在分层贝叶斯的框架下考虑了一种隐式抽样方法,并将其应用到分数阶多尺度扩散模型的反演问题中.刻画后验分布最常用的方法之一就是马尔科夫链蒙特卡洛（MCMC）方法.然而,由MCMC产生的样本之间相关性很强,这将会导致有效样本量的减小.隐式抽样可以产生较为独立的样本且能捕捉到后验分布的非高斯特征.隐式抽样通过建立一个映射产生后验样本,且能保证后验样本主要集中在最大后验点（MAP）附近.在实际应用中,先验信息中的某些参数一般是未知的.分层贝叶斯可以同时估计出先验信息中的未知参数和MAP点.我们把这些方法应用到带有非均质介质的多项时间分数阶扩散方程中.对于含有非均质性质的上述模型,在扩散系数场中通常存在一些多尺度或者高对比特征.直接对多尺度模型进行模拟将会造成巨大的计算成本.然而,贝叶斯反问题中又需要多次对正问题进行模拟.为了有效地捕捉非均质特征,我们引入混合广义多尺度有限元方法（mixed GMs FEM）.这种方法旨在将计算过程分为离线和在线步骤,最终通过建立一个约化模型来加速贝叶斯反演的过程.最后,我们呈现一些数值算例来反演不同种类的模型输入.最后,我们考虑用一种变分贝叶斯方法来识别空间-时间非局部扩散方程中反应系数的问题,测量数据取为非局部平均流数据.为了证明后验测度是定义明确的,我们严格证明了解算子关于未知参数的连续性.先验信息在贝叶斯反问题中起着至关重要的作用.最常用的高斯先验一般用作反演具有光滑性质的模型输入.如果我们的反演目标含有一些震荡特征,例如光滑震荡,非光滑震荡和不连续震荡等性质,此时就需要引入一些更为复杂的先验信息.这里,我们使用梯度型的先验信息来捕捉反应系数场中的震荡特征.我们证明在Hellinger距离下,后验测度关于测量数据是连续的.为了利用不相关的样本刻画后验分布,我们使用一种有效的变分贝叶斯方法来估计非局部模型中的反应系数.最后,我们通过一些数值算例来验证上述算法的实用性.
龙子超[5]（2020）在《机器学习和数值方法相结合的偏微分方程正反问题的求解》文中指出偏微分方程（PDE）在各学科研究及工程应用中具有重要意义,我们可以根据观察到的现象以及对于问题的经验,建立相关的偏微分方程模型来描述我们感兴趣的现象,与此同时,再对相关的模型进行数学上的分析或是数值上的离散逼近.近些年来,随着可采集实验数据、各类其他应用中的数据的增多,以及计算能力的发展,数据密集型研究,成为实验、理论、计算之外的科学探索新范式.利用数据来辅助过去基于经验和理论推导的建模,甚至利用数据尽可能的发掘一些规律,成为富有意义而又极具潜力的新方法.当PDE的形式已知而仅有某些参数未知时,我们可以利用微分方程系统辨识和经典的PDE反问题中的许多方法反演这些参数.然而,对于许多复杂系统,例如神经科学、金融、生命科学中的许多问题,我们难以完整的建立较准确的PDE表达式,并需要大量的引入经验参数/经验公式.一个自然的问题是,我们能否从实际采集到的各类数据中同时学习到PDE的形式和参数?事实上,当PDE的形式已知时,经典的反问题求解方法,往往在优化迭代（需反复求解正问题）求解待定参数时使用固定的正问题求解格式.然而,当PDE的形式未知时,我们要从数据中学习PDE的形式和参数,首先需要解决的问题就是:在正问题形式未知的时候,如何有一个合适的正问题离散方式?为此,本文首先提出,将PDE的时间演进看做神经网络前传或马尔科夫决策过程,在求解反问题的同时学习正问题离散方式,并分三步[100,117,122]验证了这一思路的可行性.本文结合新兴的机器学习算法,例如深度学习、强化学习,探索一种对模型结构的假设较少,而又能充分利用时空数据的含时偏微分方程系统辨识方法.本文在讨论系统辨识/反问题时,我们将侧重于建立可解释且具有长时间预测能力的模型.在建立优化问题时,与单步预测误差（one-step-ahead prediction error）相对应的,我们希望采用多步累积预测误差来学习我们的模型.本文主要分为以下三部分展开讨论.用卷积代替空间差分,将动力系统的时间离散展开为深度神经网络.偏微分方程正问题的数值离散方式的好坏,将直接影响到反问题的求解.注意到,深度学习中广为使用的卷积神经网络与PDE的离散格式具有天然的联系:对PDE在规则网格上的差分离散,实际上可以写作一种卷积运算.作为一个概念验证,我们设计了针对对流扩散方程的深度网络PDE-Net[100,101]:网络的前传对应PDE数值格式中的时间演进,网络的卷积核将被约束在适当的空间中,使得不同卷积核对应不同的差分算子,学习卷积核就相当于学习差分离散,最后,我们采用分片多项式来逼近模型未知的部分.我们用PDE-Net去逼近PDE各时刻的解,于是,依据给定的数据求解偏微分方程反问题,即等价于求解这一逼近问题里PDE-Net参数最优值.数值结果表明,在这一框架下,我们不仅能对含噪声的数据有效的求解对流扩散方程反问题,也能直接使用学得的PDE-Net进行预测模拟.利用深度神经网络逼近复合函数的优势减弱关于模型的假设.这一部分,我们将进一步考虑模型类型未知的情形.为了能充分利用不同初始值下的时空数据,我们继续沿用PDE-Net将PDE时间积分展开为网络前传的整体框架.这里我们侧重于"发现"可解释模型,也就是逼近未知形式的右端项的同时,提取模型的一种简洁的表达.为此,我们采用EQL/EQL÷系统辨识方法并加以简化,设计了深度符号网络Sym Net用以逼近未知模型的右端项.与稀疏非线性系统辨识方法SINDy中"构建字典+稀疏优化"的思路完全不同的是,Sym Net无需存储字典中所有待定项,可以节省大量存储空间,从而使得我们可以在PDE-Net中嵌入Sym Net.此外,为了更好的处理方程中可能存在的对流项,我们在前传网络中采用了伪迎风策略.我们将这个神经网络称为PDE-Net 2.0[117],并在一个关于未知模型的统一假设下,对二维的热方程,Burgers’方程,带有非线性源项的对流扩散方程进行了数值实验.数值结果显示,我们学出来的PDE-Net 2.0不仅可以作为潜在PDE的合适的模拟器,也可从中提取出模型的一个较紧凑的表达式.从数据中学习求解正问题的数值格式.此前,我们将PDE数值格式的时间演进视为神经网络PDE-Net的前传,这里,我们将扩展这一概念,将其看做是马尔科夫决策过程（Markov Decision Process,MDP）.学一个合适的数值格式,也就成为某种闭环控制问题.这个扩展使得我们除了使用卷积代替差分之外,可以考虑学习更一般的离散格式.结合强化学习对于离散/连续优化问题的处理方式,我们在已知PDE模型的情形下,对一维守恒律方程探讨了一种通过数据学习离散格式的方法[122].
郭杰斌[6]（2020）在《图像复原与分割的偏微分方程模型与数值实现》文中研究说明图像是人类获取信息的主要来源。由于客观因素制约或者不恰当的处理,图像在经过生成、传输或存储步骤后,最终获得的图像可能是含有噪声、模糊、对比度过低等特征的退化图像,这严重影响图像分割、识别、理解等后续处理的质量。因此,人们需要通过图像去噪、解模糊等图像复原技术尽量还原真实的图像。然而,从数学角度看,图像复原是一类反问题（inverse problem）,是不适定的（ill-posed）,因此图像复原一直是图像处理中一个具有挑战性的基本课题。图像分割是图像分析领域中基本的任务,分割的结果会影响到图像分析、理解等后续处理步骤。由于没有通用的分割标准,分割结果的评判常常具有不确定性,因此图像分割也一直是图像处理中一个具有挑战性的基本课题。该学位论文主要在偏微分方程（PDE）框架下研究图像复原（去噪、解模糊）与分割（含二值化）问题。该文以冲击滤波（shock filter）算子与几类扩散方程（Perona-Malik扩散、定向扩散、间接扩散、四阶扩散）以及时间序列分析中的指数平滑方法为研究主线,针对具体的图像复原或分割问题,提出相应的含冲击滤波算子或扩散算子的PDE模型。其中,冲击滤波的作用是解模糊和增强低频信息;保边缘扩散的作用是在保留目标边缘的同时平滑噪声等虚假细节,并抑制冲击滤波放大噪声的副作用;四阶间接扩散的作用是更好地保留低频分量信息。具体研究内容如下:（1）自适应冲击-扩散复原模型与数值计算为了复原带噪声的模糊图像,该文提出一个含正则化冲击滤波算子与扩散算子的PDE模型,其中自适应性是通过正则化的边缘检测算子来实现的。这里的正则化与通常采用高斯函数作为卷积核函数不同,该文采用软化子（mollifier）作为卷积核函数,并给出了对应的数值计算必需的卷积掩模（mask）。为了高效求解模型,提出了一个结合有限差分和指数平滑的混合数值算法。实验表明,与相关的PDE模型相比,该模型对于带噪声的模糊图像具有更好的复原效果。（2）Perona-Malik扩散的正则化与图像去噪Perona-Malik各向异性扩散方程（PM模型）在偏微分方程图像处理领域中扮演着重要的角色,然而它存在理论上不适定和应用上噪声敏感的问题。针对这两个问题,一些文献提出了空域正则化、时域正则化与时-空域正则化的PM模型,这些模型中的正则化是通过扩散系数中的函数梯度的正则化来实现的,其中某些文献在离散情形或弱解意义下讨论了解的适定性问题。该文研究发现,PM模型的时域正则化可以从指数平滑的角度给予解释,从而时域正则化可以统一在指数平滑框架下进行研究。基于这个观点,该文提出一个新的时-空域正则化PM模型,它是一个由两个方程构成的偏微分方程组。与现有正则化PM模型不同,该文的正则化是通过扩散系数中的函数的正则化来实现的。该模型有理论和应用两个方面的优点:一是理论上可以采用标准方法证明弱解的存在唯一性;二是实验表明它对高斯噪声、泊松噪声、椒盐噪声和斑点噪声具有很强的抗噪性。为了高效求解模型,设计了一个半隐式并行分裂算法,并讨论了数值格式的稳定性。（3）带有定向扩散的两相图像分割模型两相图像（如文本图像）是指具有两个不同灰度级范围的图像,一个灰度级范围对应的区域被称为目标,另外一个灰度级范围对应的区域被称为背景。对于这类图像,边缘是其重要的主要特征,在分割过程中对目标边缘的保护显得尤为重要。从定向扩散的角度出发,该文提出一个含源项的保边缘分割模型,并设计了一个半隐式并行分裂算法。实验证实了该模型与算法对两相图像分割的有效性。（4）低对比度或对比度变化的退化文本图像的二值化在退化文本图像中,文字的低对比度或对比度变化是典型的退化特征之一。针对这类退化文本图像的二值化,该文提出了一个四阶间接扩散的PDE模型。该模型将自适应冲击滤波算子与时间相依的二值分类器耦合于四阶间接扩散过程中。这里,四阶间接扩散既能有效平滑噪声,又能较好保留低对比度文字的边缘信息;冲击滤波算子可以增强低对比度文字,同时避免低对比度文字因扩散造成的模糊而导致的文字边缘的错位;时间相依的二值分类器能够控制二值化的节奏（先弱后强）。为了高效求解模型,该文设计了一个半隐式并行分裂算法,并对国际文本图像二值化竞赛数据库（DIBCO 2009-2016）进行测试。测试结果表明,与四个相关的PDE模型以及四个非PDE算法比较,该模型取得了最好的二值化效果。
孙春龙[7]（2020）在《时间分数阶扩散模型的反问题及应用》文中进行了进一步梳理扩散过程是一类重要的自然现象,在生命科学、材料科学、环境科学等领域具有广泛的应用.基于微分方程模型的扩散过程的参数重建,本质上是发展微分方程非标准初边值问题的理论和算法.由于问题的非线性性和不适定性结合在一起,该类问题的求解需要在处理非线性性的同时引入正则化方法以得到稳定的数值解.本文致力于基于扩散过程的介质成像和检测的研究,数学模型为带有时间分数阶导数的偏微分方程控制的慢扩散（超慢扩散）过程对应的反问题和经典抛物型方程对应的非线性反问题.研究内容包括以慢扩散为背景的含单个时间分数阶导数的偏微分方程反问题、以超慢扩散为背景的带有分布型时间分数阶导数的偏微分方程反问题、以生物荧光成像为背景的线性耦合方程组的非线性反问题.系统地研究一类扩散方程（特别是带有时间分数阶导数的偏微分方程）的反问题的理论和算法,是本文的主要研究内容.本文具体包括以下四个方面的工作.首先,假设带有单个时间分数阶导数的扩散模型的内部源项具有时空变量分离的形式F（x,t）=f（x）β（t）,考虑由部分边界上的Neumann测量数据确定空间依赖源项f（x）的反问题.在第三章中,基于连接反演输入数据和未知源项的变分恒等式,提出了证明反问题在弱范数意义下条件稳定性的新方法.与传统的由Carleman估计研究反问题稳定性的方法相比较,我们的方法对于一般的分数阶导数的阶数α∈（0,1）和一般的源项衰减系数β（·）∈C[0,T]都是适用的.其次,同样假设分布型时间分数阶扩散模型的内部源项具有时空变量分离的形式F（x,t）=f（x）β（t）,考虑由部分内部测量数据确定时间依赖源项β（t）的反问题.在第四章,我们详细分析了分布型时间分数阶常微分方程的解的性质,基于此,证明了带有分布型时间分数阶导数的偏微分方程的强解的适定性.另外,考虑了其对应的伴随问题的弱解适定性.在正问题达到强解的正则性和伴随问题达到弱解的正则性的条件下,我们建立了反问题的变分恒等式,并证明了反源问题的条件稳定性.第三,研究了分布型时间分数阶扩散模型中权函数的重建.在第五章,我们证明了内点观测数据关于未知权函数的Lipschitz连续性,基于此,由一般的极小化序列和紧性理论证明反问题对应的正则化误差泛函的极小元存在性.另外,证明了该误差泛函的可微性且给出泛函梯度的求解格式.因为观测数据非线性和非局部地依赖于未知权函数,此类优化问题的分析和求解是新颖且困难的,需要更细致的理论分析.同时,对于上述三类反问题,本文利用梯度型迭代算法开展数值反演研究.我们通过大量数值算例验证了所提出算法的有效性,数值结果表明我们提出的算法具有理想的数值实现结果.但是,对应此三类反问题的数值实现效果还是有比较明显的差别的.具体而言,由时间序列观测反演时间依赖源项的数值结果非常理想,而由时间序列观测反演空间依赖源项或反演分数阶导数阶数的权函数是相对困难的.可能的原因是:一方面,此三类反问题的病态程度不同;另一方面,反问题的性质与作为反演输入的观测数据的给定方式紧密相关.最后,第六章研究了荧光层析成像的线性化扩散模型对应的系数重建的反问题.该模型主要是经过两步近似得到.首先,基于光子辐射传输中的扩散近似理论,将辐射传输模型（RTE模型）转换为非线性扩散模型（DE模型）,基于该模型来确定荧光团吸收系数的反问题是非线性的.其次,对非线性扩散模型进行线性化,从而得到线性化扩散模型（线性化DE模型）,基于该模型反演生物组织中的荧光团分布的反问题是线性不适定的.我们对模型线性化对激发场和反问题解产生的误差给出了定量估计,由误差估计可以看出,如果荧光体的吸收系数明显小于背景介质的吸收系数,则线性化产生的模型误差极小.数值方面,对激发场和发射场,我们分别比较了RTE模型和线性化DE模型的拟合程度.由数值结果可以看出,对于大多数时刻点,两个模型得到的时间分辨函数图像吻合得较好,从而说明了模型线性化的合理性.最后,假设荧光团的三维吸收系数具有水平信息和垂直信息分离的形式,并且垂直方向的信息已知,我们证明了由边界上探测到的发射场信息反演吸收系数的水平信息的唯一性.
马向[8]（2020）在《无界区域上偏微分方程的快速算法》文中认为科学与工程研究中的很多问题可以转化为定义在无界区域上的偏微分方程的求解问题。人工边界方法是求解无界区域偏微分方程的一种有效方法。通过引入恰当的人工边界,并添加准确或者近似的人工边界条件,我们可以把无界区域问题转化为有界区域问题。随后,我们可以采用常规的数值方法求解得到的有界区域问题。在本文中,我们首先提出三维无界区域Poisson方程的快速有限元算法,包含外问题和管道问题。我们推导出准确的Dirichlet-to-Neumann算子形式的人工边界条件把无界区域问题化为有界区域问题。基于对根号函数的Pade逼近和最佳Chebyshev有理逼近,我们得到两种快速算法来逼近准确的人工边界条件。该方法的显着优势是不需要求解人工边界上Laplace算子的特征系统。此外,与传统的特征分解方法相比,我们显着地减少了 Dirichlet-to-Neumann算子形式人工边界条件的计算量。我们给出了快速算法的完整数值分析,并提供了数值算例来证明方法的有效性。在本文中,我们还设计出一维无界区域局部和非局部扩散方程的快速算法,并对其稳定性和误差分析进行了研究。通过使用中心差分离散空间导数算子,渐近相容格式离散空间非局部算子,并使用二阶向后差分格式离散时间导数算子,我们首先得到了全离散的系统。随后,我们推导出Dirichlet-to-Neumann算子形式人工边界条件,把无界区域问题化为有界区域问题。为了得到Dirichlet-to-Neumann算子形式人工边界条件,我们首先对离散系统应用z变换,并用迭代方法求解外部无界问题得到Dirichlet-to-Dirichlet算子形式人工边界条件。随后,我们通过Green公式,把Dirichlet-to-Dirichlet算子形式人工边界条件等价地转化为Dirichlet-to-Neumann算子形式人工边界条件。基于Dirichlet-to-Neumann算子形式人工边界条件和一些开放且合理的假设,我们对有界区域问题进行了稳定性和收敛性分析。通过对逆z变换诱导积分的数值近似,我们得到快速卷积算法来计算人工边界条件。我们给出了方法的稳定性和误差分析,并提供了数值算例来证明方法的有效性。
刘艳杰[9]（2020）在《参数反演的贝叶斯方法及其应用研究》文中研究指明近年来,反问题的理论及应用研究涉及越来越多的领域。在理论研究方面,有越来越多研究者用不同的方法去克服反问题的不适定性。鉴于统计方法可以量化反问题解的不确定性,统计反问题得到了更多人的关注。此外,反问题方法在石油勘探,水文地质学与环境科学,信号与图像处理等领域的应用越来越广泛,尤其在图像去噪与恢复研究方面,统计方法研究具有重要意义。本文主要研究时间分数阶扩散方程中参数反演的贝叶斯方法及其在图像重建方面的应用。第一章,分析课题的研究意义,并简要阐述了国内外研究现状和发展趋势,然后简单介绍反问题与贝叶斯方法之间的联系,最后给出本文的主要工作。第二章,主要介绍贝叶斯方法的基本概念和理论知识,以及贝叶斯理论在图像处理方面的应用,为后续章节研究做准备。第三章,主要应用贝叶斯方法研究一维分数阶扩散方程的参数反演问题。首先基于正问题求解的差分格式,分别研究了扩散系数的单参数反演以及微分阶数和扩散系数的联合反演问题。以区域右端观测值作为附加数据,基于贝叶斯理论建立反演模型对未知参数进行求解,讨论了似然方差对反演结果的影响和附加数据维数对反演结果的影响,同时分析了反演的时效问题。对于一维变时间分数阶扩散方程的微分阶数反问题,同样运用贝叶斯方法进行统计反演研究,给出微分阶数在不同函数形式下的反演结果。第四章,主要是研究图像重建的贝叶斯方法。针对具体噪声模型的图像重建,在贝叶斯理论的基础上给出相应的算法及数值实验结果。由实验结果可以看出,贝叶斯方法在图像处理领域有一定的优越性。第五章,总结全文内容,并提出研究中存在的问题与后续研究方向。
李龙[10]（2020）在《基于水平集和最优传输的数据同化海洋污染预报：理论与算法》文中提出近年来,随着海洋勘探技术的大力兴起,溢油等海洋污染事故频发,对生态环境造成了严重的破坏。提高海洋污染预报能力,对海洋生态环境的保护和人类的生存具有重大的意义。海上浮油等污染物的预报大多是从模型的正演模拟角度出发。受到模型的初边值、参数以及数值格式的限制,对污染物进行长时间的追踪会产生较大的误差。目前,变分数据同化是一种能够反演模型状态的有效方法,该方法将观测数据与模型变量以优化的方式结合起来。针对海洋溢油追踪问题的特殊性以及难点,本文采用水平集方程作为污染输运模型,围绕着同化卫星遥感观测中的扩散范围信息提出了多种有效的方法,可以对初始轮廓进行准确地重构。此外,为了提高海表流场的重建效果,提出了基于字典学习的稀疏约束型图像同化方法。实际的数值测试对所提出方法的可行性加以验证。具体内容如下:首先,考虑到海洋浮油遥感观测的特殊性,难以获取浓度测量信息,本文将水平集方法引入变分同化框架中。建立了轮廓信息匹配的极小化泛函,将水平集模型与观测资料中的污染范围信息结合起来。根据伴随理论,推导出此新型目标泛函关于初始轮廓的梯度。数值结果表明,该方法可以同化仅含有轮廓信息的海洋溢油观测资料,并且能够提高浮油演化中产生的复杂拓扑变化的同化效果。然后,针对浮油观测数据含有位置误差的情况,本文提出了基于最优传输理论的拓扑同化方法。采用二次Wasserstein度量刻画观测与模拟之间的差异,将克服由l2范数方法产生的双重惩罚效应。此外,借助Kantorovich势给出了此新型代价泛函关于初始轮廓的梯度。实际测试结果表明此方法能够解决背景场位置和形状非高斯误差的问题,降低数据缺失对同化效果的影响。最后,针对海表流场重建问题的强不适定性,提出了基于字典学习的稀疏约束型四维变分数据同化算法,并根据伴随理论推导出此新型目标泛函的Gateaux可微项关于初始速度场的梯度。该方法充分结合了描述流体物理特征的涡量结构,以及具有多尺度、多方向性质的自适应稀疏变换的优势,使得重建的流场含有更多的海洋特征。此外,给出了解决此l1+l2混合范数非光滑优化问题的分裂Bregman迭代算法。实际测试结果表明所提出的方法能够提高流场重建的速度,并且可以有效地改善伪影现象。
二、一维扩散方程扩散系数的变分同化估计（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、一维扩散方程扩散系数的变分同化估计（论文提纲范文）
（1）基于元胞自动机的河流水质模拟及数据同化研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACTS |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景与意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.2.1 河流水质模型研究进展 |
| 1.2.2 水质模型的数据同化研究进展 |
| 1.2.3 拟解决的问题 |
| 1.3 研究内容及技术路线 |
| 1.3.1 研究内容 |
| 1.3.2 技术路线 |
| 第2章 水体中污染物输移扩散概述 |
| 2.1 水体污染物的分类 |
| 2.2 污染物在水中的输移扩散 |
| 2.2.1 污染物在水中输移扩散的影响因素 |
| 2.2.2 污染物在水中输移扩散的研究方法 |
| 2.3 本文对污染物输移扩散模拟的思考 |
| 2.4 本章小结 |
| 第3章 基于元胞自动机的河流水质模型 |
| 3.1 元胞自动机模型 |
| 3.2 基于CA的河流水质模型 |
| 3.2.1 元胞空间 |
| 3.2.2 元胞状态 |
| 3.2.3 邻域类型 |
| 3.2.4 水流运动规则 |
| 3.2.5 污染物输移扩散规则 |
| 3.3 河流水质CA模型的实现 |
| 3.4 本章小结 |
| 第4章 水质CA模型的数据同化 |
| 4.1 数据同化 |
| 4.2 数据同化算法 |
| 4.2.1 标准卡尔曼滤波 |
| 4.2.2 集合卡尔曼滤波 |
| 4.3 基于EnKF的水质CA模型数据同化 |
| 4.3.1 状态变量 |
| 4.3.2 集合大小 |
| 4.3.3 误差选取 |
| 4.3.4 观测数据 |
| 4.4 同化性能评价标准 |
| 4.5 本章小结 |
| 第5章 模型的应用研究 |
| 5.1 研究区域 |
| 5.2 数据来源与预处理 |
| 5.2.1 水文资料 |
| 5.2.2 河底高程数据 |
| 5.2.3 边界条件 |
| 5.2.4 土地利用类型 |
| 5.2.5 实测数据 |
| 5.2.6 参数设置 |
| 5.3 水质CA的模型结果 |
| 5.3.1 水动力结果 |
| 5.3.2 污染物浓度结果 |
| 5.4 基于EnKF的COD浓度数据同化 |
| 5.5 本章小结 |
| 第6章 结论与展望 |
| 6.1 结论 |
| 6.2 创新点 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 附录 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
（2）几类偏微分方程图像去噪模型及求解算法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题背景及研究意义 |
| 1.2 研究现状及分析 |
| 1.2.1 基于PDE的图像去噪模型 |
| 1.2.2 PDE图像去噪模型求解算法 |
| 1.3 本文主要研究内容 |
| 第2章 具有光滑解的非线性扩散方程去噪模型 |
| 2.1 非线性扩散方程去噪模型 |
| 2.2 模型理论分析 |
| 2.3 数值算法 |
| 2.3.1 显式有限差分法 |
| 2.3.2 快速显式扩散方法 |
| 2.3.3 加性算子分裂方法 |
| 2.3.4 Krylov子空间谱方法 |
| 2.4 数值实验 |
| 2.4.1 算法对比 |
| 2.4.2 模型实验对比 |
| 2.5 本章小结 |
| 第3章 基于分数阶Fick定律的分数阶扩散方程去噪模型及算法设计 |
| 3.1 分数阶导数定义 |
| 3.2 基于分数阶Fick定律的空间分数阶扩散方程去噪模型 |
| 3.3 数值算法 |
| 3.3.1 有限差分方法 |
| 3.3.2 快速显式扩散方法 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.4.1 算法对比 |
| 3.4.2 实验分析 |
| 3.5 模型的扩展 |
| 3.6 本章小结 |
| 第4章 低场MR图像PDE去噪模型的快速求解算法 |
| 4.1 低场MR图像去噪模型及算法设计 |
| 4.1.1 基于PDE的低场MR图像去噪模型 |
| 4.1.2 收缩预处理共轭梯度法 |
| 4.2 预处理器 |
| 4.2.1 Jacobi预处理器 |
| 4.2.2 AOS预处理器 |
| 4.2.3 移位Laplace算子DCT预处理器 |
| 4.3 数值实验 |
| 4.4 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表的论文及其他成果 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（3）基于复扩散滤波和深度学习的地震勘探噪声压制模型研究及应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景和意义 |
| 1.2 地震勘探记录中随机噪声的分类及其特性 |
| 1.3 地震勘探数据去噪国内外研究现状 |
| 1.4 论文主要工作及章节安排 |
| 第2章 基于偏微分方程的扩散滤波与深度学习网络基本理论 |
| 2.1 实数域扩散滤波模型 |
| 2.1.1 高斯平滑过程与热扩散方程 |
| 2.1.2 Perona-Malik模型 |
| 2.2 复数域扩散滤波模型 |
| 2.2.1 薛定谔方程 |
| 2.2.2 复数域线性扩散滤波 |
| 2.2.3 复数域斜坡保持扩散滤波 |
| 2.3 深度学习网络 |
| 2.3.1 神经元与神经网络 |
| 2.3.2 卷积神经网络 |
| 2.4 本章小结 |
| 第3章 基于结构自适应复锐化扩散的非平稳随机噪声压制算法 |
| 3.1 复数域锐化扩散滤波模型 |
| 3.1.1 Shock滤波器 |
| 3.1.2 基于Shock滤波器的改进方法 |
| 3.1.3 基于复扩散的锐化扩散滤波 |
| 3.2 结构张量的基本原理 |
| 3.2.1 结构张量的基本原理 |
| 3.2.2 结构张量的参数分析 |
| 3.3 基于结构张量的结构自适应复数域锐化扩散方法 |
| 3.3.1 基于结构自适应的梯度方向扩散系数 |
| 3.3.2 方向自适应的垂直于梯度方向扩散系数 |
| 3.4 数值离散化方案 |
| 3.5 实验结果及分析 |
| 3.5.1 受高斯白噪声污染的合成地震记录 |
| 3.5.2 受真实沙漠低频随机噪声污染的合成地震数据 |
| 3.5.3 林带实际地震勘探数据处理 |
| 3.5.4 沙漠实际地震数据处理 |
| 3.6 本章小结 |
| 第4章 基于块去噪卷积神经网络的非平稳随机噪声压制模型 |
| 4.1 去噪卷积神经网络 |
| 4.1.1 卷积神经网络框架 |
| 4.1.2 卷积神经网络的参数更新过程 |
| 4.2 K-均值聚类方法 |
| 4.3 结构相似性矩阵 |
| 4.4 基于图像块的卷积神经网络 |
| 4.4.1 基于噪声水平的图像块聚类 |
| 4.4.2 优化卷积神经网络的选择 |
| 4.5 实验及结果分析 |
| 4.5.1 训练集构建与网络模型训练 |
| 4.5.2 受高斯白噪声污染的合成地震记录 |
| 4.5.3 林带实际地震勘探数据处理 |
| 4.6 本章小结 |
| 第5章 基于深度学习的复数域反应-扩散模型 |
| 5.1 实数域反应-扩散模型 |
| 5.1.1 反应-扩散模型的基本原理 |
| 5.1.2 基于Shock的反应-扩散模型 |
| 5.2 基于深度学习的复数域反应-扩散滤波模型 |
| 5.3 数值离散化方案 |
| 5.4 数据集构建与模型训练 |
| 5.5 实验结果及分析 |
| 5.5.1 受强低频随机噪声污染的模拟地震记录实验 |
| 5.5.2 沙漠地区实际地震勘探记录实验 |
| 5.6 本章小结 |
| 第6章 总结和展望 |
| 6.1 研究总结 |
| 6.2 研究展望 |
| 参考文献 |
| 作者简介及科研成果 |
| 致谢 |
（4）分数阶偏微分方程反问题的若干研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 问题的研究背景以及研究意义 |
| 1.2 国内外的研究现状 |
| 1.3 本文的主要工作和结构安排 |
| 第2章 预备知识 |
| 2.1 几类常用分数阶微积分的概念及性质 |
| 2.2 反问题的基本框架与性质 |
| 2.3 求解反问题的主要方法 |
| 第3章 时间分数阶扩散方程反问题研究 |
| 3.1 问题介绍 |
| 3.2 解算子的连续性 |
| 3.3 L~2+BV正则化方法 |
| 3.4 混合有限元求解正问题 |
| 3.5 数值实验 |
| 3.5.1 反演光滑函数 |
| 3.5.2 反演带有跳跃不连续性质的函数 |
| 3.5.3 反演分片光滑函数 |
| 3.6 本章小结 |
| 第4章 含有异类介质的多项时间分数阶扩散方程反问题研究 |
| 4.1 问题介绍 |
| 4.2 分层贝叶斯框架下的隐式抽样方法 |
| 4.2.1 l_p先验下的分层贝叶斯形式 |
| 4.2.2 隐式抽样 |
| 4.3 基于混合GMsFEM的约化方法 |
| 4.4 数值实验 |
| 4.4.1 反演多项时间分数阶导数的阶数 |
| 4.4.2 反演扩散系数 |
| 4.4.3 反演反应系数 |
| 4.5 本章小结 |
| 第5章 空间-时间非局部扩散方程反问题研究 |
| 5.1 问题介绍 |
| 5.2 非局部算子 |
| 5.3 贝叶斯推断方法 |
| 5.3.1 后验测度的适定性 |
| 5.4 变分贝叶斯 |
| 5.5 数值实验 |
| 5.5.1 一维情形 |
| 5.5.1.1 识别光滑的震荡系数 |
| 5.5.1.2 识别非光滑的震荡系数 |
| 5.5.1.3 识别不连续的震荡系数 |
| 5.5.2 二维情形 |
| 5.6 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 附录 攻读学位期间所完成的学术论文目录 |
（5）机器学习和数值方法相结合的偏微分方程正反问题的求解（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 引言 |
| 1.1 系统辨识-反问题 |
| 1.1.1 相关工作及最新进展 |
| 1.1.2 本文的工作 |
| 1.2 模型预测-正问题 |
| 1.2.1 相关工作及最新进展 |
| 1.2.2 本文内容 |
| 第二章 基础知识:深度学习与强化学习 |
| 2.1 深度学习 |
| 2.2 强化学习 |
| 2.3 从最优控制看深度学习与强化学习 |
| 第三章 PDE-Net基本框架 |
| 3.1 网络结构 |
| 3.1.1 单步δt-block |
| 3.1.2 PDE-Net:多步δt-blocks |
| 3.2 卷积与微分 |
| 3.2.1 卷积核的微分阶与完全微分阶 |
| 3.2.2 卷积核的矩 |
| 3.3 训练方法 |
| 第四章 Learning PDEs:基于分片多项式的PDE-Net |
| 4.1 基于分片多项式逼近线性系数 |
| 4.2 数值结果:对流扩散方程 |
| 4.2.1 待辨识模型及数据生成 |
| 4.2.2 先验假设及子网络Net结构 |
| 4.2.3 数值结果 |
| 4.3 数值结果:含非线性源项的对流扩散方程 |
| 4.3.1 基本设定 |
| 4.3.2 数值结果 |
| 4.4 补充说明 |
| 4.4.1 长时间预测 |
| 4.4.2 PDE-Net的泛化性能 |
| 第五章 Learning PDEs:基于Sym Net的PDE-Net2.0 |
| 5.1 SymNet |
| 5.2 正则化及伪迎风策略 |
| 5.2.1 正则化:L~(moment)及L~(SymNet) |
| 5.2.2 δt-block中的伪迎风(Pseudo-upwind)策略 |
| 5.3 数值结果:Burgers’方程 |
| 5.3.1 基本设定 |
| 5.3.2 数值结果 |
| 5.3.3 L~(Sym Net)及伪迎风的意义 |
| 5.4 数值结果:扩散方程 |
| 5.4.1 基本设定 |
| 5.4.2 数值结果 |
| 5.5 数值结果:含源项的对流扩散方程 |
| 5.5.1 基本设定 |
| 5.5.2 数值结果 |
| 第六章 Learning to Discretize PDEs:基于强化学习学习正问题求解格式 |
| 6.1 补充知识 |
| 6.1.1 符号说明 |
| 6.1.2 WENO格式 |
| 6.2 学习算法 |
| 6.2.1 将数值格式建模成MDP |
| 6.2.2 RL-WENO:利用强化学习推断WENO权重 |
| 6.3 数值结果 |
| 6.3.1 基本设定 |
| 6.3.2 RL-WENO与WENO的对比 |
| 6.3.3 RL-WENO与WENO运行效率对比 |
| 总结与后续工作 |
| 参考文献 |
| 个人简历及在学期间研究成果 |
| 致谢 |
（6）图像复原与分割的偏微分方程模型与数值实现（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 符号释义 |
| 1 绪论 |
| 1.1 图像与图像处理 |
| 1.1.1 图像 |
| 1.1.2 图像处理 |
| 1.1.3 图像处理意义 |
| 1.2 图像复原 |
| 1.3 图像分割 |
| 1.4 本文主要工作 |
| 1.5 本文结构安排 |
| 2 预备知识 |
| 2.1 滤波 |
| 2.1.1 空间滤波与频率域滤波 |
| 2.1.2 平滑(低通)滤波 |
| 2.1.3 锐化(高通)滤波 |
| 2.2 指数平滑 |
| 2.3 常微分方程(组)均衡点的稳定性 |
| 2.4 偏微分方程的有限差分法 |
| 2.4.1 有限差分格式 |
| 2.4.2 边界条件的离散化实现方法 |
| 2.4.3 显式、隐式与半隐式方案 |
| 2.4.4 稳定性 |
| 2.5 并行分裂算法 |
| 2.6 线性方程组的消元法 |
| 2.6.1 系数矩阵A为三对角线矩阵 |
| 2.6.2 系数矩阵A为五对角线矩阵 |
| 2.7 图像质量评估方法 |
| 2.7.1 主观评估方法 |
| 2.7.2 客观评估指标 |
| 2.8 基本定理 |
| 3 自适应冲击-扩散的复原模型 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 相关模型 |
| 3.2.1 各向异性扩散 |
| 3.2.2 冲击滤波 |
| 3.3 本章模型 |
| 3.3.1 模型导出 |
| 3.3.2 核函数与卷积掩模 |
| 3.4 数值算法 |
| 3.4.1 显式差分格式 |
| 3.4.2 指数平滑-差分法混合数值方案 |
| 3.5 实验结果 |
| 3.6 本章小结 |
| 4 Perona-Malik扩散的时-空正则化与图像复原 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 相关模型 |
| 4.3 本章模型与分析 |
| 4.3.1 指数平滑的连续形式 |
| 4.3.2 模型描述 |
| 4.3.3 弱解的存在性与唯一性 |
| 4.4 数值算法 |
| 4.4.1 模型(4.12)式(1)的离散化 |
| 4.4.2 模型(4.12)式(2)的离散化 |
| 4.4.3 模型(4.12)的数值求解 |
| 4.5 实验结果 |
| 4.6 本章小结 |
| 5 带有定向扩散的两相图像分割模型 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 本章模型与分析 |
| 5.2.1 定向扩散 |
| 5.2.2 源项与分析 |
| 5.2.3 模型描述 |
| 5.3 数值算法 |
| 5.4 实验结果 |
| 5.5 本章小结 |
| 6 含对比度退化文本图像二值化的PDE模型 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 四阶间接扩散 |
| 6.2.1 四阶扩散方程 |
| 6.2.2 四阶间接扩散 |
| 6.3 本章模型与分析 |
| 6.3.1 模型描述 |
| 6.3.2 二值分类器与分析 |
| 6.4 数值算法 |
| 6.4.1 模型(6.19)式(1)的离散化 |
| 6.4.2 模型(6.19)式(2)的离散化 |
| 6.4.3 模型(6.19)的数值求解 |
| 6.5 实验结果 |
| 6.6 其它低对比度自然图像的分割实验 |
| 6.7 本章小结 |
| 7 结论与展望 |
| 7.1 全文总结 |
| 7.2 研究展望 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| A.第四章实验结果评估指标值 |
| B.DIBCO数据集中的25幅低对比度/对比度变化图像 |
| C.作者在攻读学位期间发表的论文目录 |
| D.学位论文数据集 |
| 致谢 |
（7）时间分数阶扩散模型的反问题及应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 符号及注记 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 经典扩散与反常扩散问题概述 |
| 1.2 扩散模型的数学描述 |
| 1.3 正问题已有的工作和研究现状 |
| 1.4 反问题已有的工作和研究现状 |
| 1.5 本文的工作 |
| 第二章 时间分数阶方程正问题的数值求解 |
| 2.1 空间一维正问题的数值求解 |
| 2.2 空间二维正问题的数值求解 |
| 第三章 单个时间分数阶扩散模型的反源问题 |
| 3.1 正问题弱解的适定性 |
| 3.1.1 Caputo导数在分数阶Sobolev空间的定义 |
| 3.1.2 弱解的适定性 |
| 3.2 反问题的唯一性和条件稳定性 |
| 3.2.1 反问题的唯一性 |
| 3.2.2 变分恒等式 |
| 3.2.3 反问题的Lipschitz稳定性 |
| 3.3 优化算法及数值实验 |
| 3.3.1 共轭梯度法 |
| 3.3.2 数值实验 |
| 第四章 分布型时间分数阶扩散模型的反源问题 |
| 4.1 正问题强解的适定性 |
| 4.2 反问题的唯一性和条件稳定性 |
| 4.2.1 反问题的唯一性 |
| 4.2.2 变分恒等式 |
| 4.2.3 反问题的Lipschitz稳定性 |
| 4.3 优化算法及数值实验 |
| 4.3.1 共轭梯度法 |
| 4.3.2 数值实验 |
| 第五章 分布型时间分数阶扩散模型的权函数重建 |
| 5.1 正问题弱解的适定性 |
| 5.2 优化方法的理论分析 |
| 5.3 迭代算法及数值实验 |
| 5.3.1 迭代算法 |
| 5.3.2 数值实验 |
| 第六章 荧光层析成像的数学研究 |
| 6.1 荧光层析成像的物理背景 |
| 6.2 辐射传输中的扩散近似 |
| 6.2.1 RTE模型和FDOT反问题 |
| 6.2.2 扩散方程的推导 |
| 6.2.3 扩散近似的边界条件 |
| 6.2.4 非线性DE模型及其线性化 |
| 6.3 模型线性化的误差估计 |
| 6.3.1 正问题的解析解 |
| 6.3.2 激发场的误差估计 |
| 6.3.3 反演解的误差估计 |
| 6.4 模型近似的数值验证 |
| 6.5 吸收系数的可识别性 |
| 第七章 总结与展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间撰写和发表的论文、参与的科研项目、会议报告和访问交流 |
（8）无界区域上偏微分方程的快速算法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 主要符号对照表 |
| 第1章 引言 |
| 1.1 问题研究背景 |
| 1.2 人工边界方法的研究现状 |
| 1.2.1 局部问题人工边界方法研究现状 |
| 1.2.2 非局部问题人工边界方法研究现状 |
| 1.3 论文内容安排 |
| 第2章 三维无界区域Poisson方程的快速有限元算法 |
| 2.1 问题引入 |
| 2.2 三维无界区域Poisson方程的适定性 |
| 2.3 准确的Dirichlet-to-Neumann算子 |
| 2.3.1 准确的Dirichlet-to-Neumann算子的导出 |
| 2.3.2 有界区域问题 |
| 2.4 Dirichlet-to-Neumann算子的半离散近似 |
| 2.4.1 插值算子 |
| 2.4.2 半离散近似 |
| 2.5 有限元方法 |
| 2.5.1 有限元离散 |
| 2.5.2 有限元误差分析 |
| 2.6 有理逼近 |
| 2.6.1 Padé逼近 |
| 2.6.2 最佳Chebyshev有理逼近 |
| 2.6.3 网格构建 |
| 2.6.4 Dirichlet-to-Neumann算子Κ_(m,h)的实现 |
| 2.7 数值算例 |
| 2.7.1 数值算例1 |
| 2.7.2 数值算例2 |
| 2.8 小结 |
| 第3章 一维无界区域局部和非局部扩散方程的快速算法 |
| 3.1 问题引入 |
| 3.2 人工边界条件的设计 |
| 3.2.1 全离散数值格式 |
| 3.2.2 z变换和逆z变换 |
| 3.2.3 Dirichlet-to-Dirichlet算子形式人工边界条件 |
| 3.2.4 Dirichlet-to-Neumann算子形式人工边界条件 |
| 3.3 快速卷积算法 |
| 3.3.1 数值积分误差分析 |
| 3.3.2 具有快速算法的数值格式 |
| 3.3.3 Dirichlet-to-Neumann算子形式人工边界条件的快速算法 |
| 3.4 稳定性和误差分析 |
| 3.4.1 离散系统的稳定性 |
| 3.4.2 误差估计 |
| 3.5 数值算例 |
| 3.5.1 数值算例1 |
| 3.5.2 数值算例2 |
| 3.5.3 数值算例3 |
| 3.5.4 数值算例4 |
| 3.5.5 数值算例5 |
| 3.6 小结 |
| 第4章 总结 |
| 4.1 研究工作总结 |
| 4.2 未来工作展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 附录A 基础知识 |
| A.1 Dirichlet-to-Neumann算子 |
| A.2 最佳Chebyshev有理逼近 |
| A.3 二阶算子差分方程的快速算法 |
| 个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果 |
（9）参数反演的贝叶斯方法及其应用研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.1.1 研究意义 |
| 1.1.2 研究现状 |
| 1.2 反问题与贝叶斯方法 |
| 1.3 研究创新点 |
| 1.4 本文主要工作 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 参数反演的贝叶斯方法 |
| 2.1.1 先验分布 |
| 2.1.2 似然函数 |
| 2.1.3 后验分布函数 |
| 2.1.4 后验空间的抽样 |
| 2.2 贝叶斯方法在图像重建中的应用 |
| 2.2.1 图像重建的基本理论 |
| 2.2.2 基于贝叶斯理论的图像重建 |
| 第三章 分数阶扩散方程扩散系数/微分阶数的贝叶斯反演 |
| 3.1 扩散系数的反演 |
| 3.1.1 正问题的求解 |
| 3.1.2 扩散系数的贝叶斯反演 |
| 3.1.3 算例3.1 |
| 3.2 微分阶数与扩散系数的联合反演 |
| 3.2.1 正问题的求解 |
| 3.2.2 微分阶数与扩散系数的贝叶斯反演 |
| 3.2.3 算例3.2 |
| 3.3 空间依赖微分阶数的反演 |
| 3.3.1 正问题的求解 |
| 3.3.2 空间依赖微分阶数的贝叶斯反演 |
| 3.3.3 算例3.3 |
| 3.4 本章小结 |
| 第四章 贝叶斯方法在能谱CT图像重建中的应用 |
| 4.1 数据采集模型 |
| 4.2 问题一 |
| 4.2.1 数据统计模型及算法 |
| 4.2.2 算法稳定性分析 |
| 4.2.3 实验结果 |
| 4.3 问题二 |
| 4.3.1 数据统计模型及算法 |
| 4.3.2 负对数似然的凸性 |
| 4.3.3 实验结果 |
| 4.4 本章小结 |
| 第五章 总结与展望 |
| 5.1 总结 |
| 5.2 展望 |
| 参考文献 |
| 在读期间公开发表的论文 |
| 致谢 |
（10）基于水平集和最优传输的数据同化海洋污染预报：理论与算法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题来源 |
| 1.2 课题研究的目的和意义 |
| 1.3 研究现状 |
| 1.3.1 海洋溢油污染物追踪 |
| 1.3.2 界面追踪 |
| 1.3.3 海表流场重建 |
| 1.3.4 变分数据同化 |
| 1.4 本文的主要研究内容及安排 |
| 第2章 基于水平集的拓扑同化方法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 水平集方法及正问题 |
| 2.3 拓扑同化算法 |
| 2.3.1 观测算子 |
| 2.3.2 伴随理论与梯度计算 |
| 2.4 数据均一化型拓扑同化 |
| 2.5 数值模拟 |
| 2.5.1 拓扑数据同化实验设置 |
| 2.5.2 拓扑同化数值测试与结果 |
| 2.6 本章小结 |
| 第3章 基于最优传输理论的拓扑同化方法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 最优传输理论与二次Wasserstein距离 |
| 3.3 W-2距离型拓扑数据同化 |
| 3.4 数值模拟 |
| 3.4.1 二次W距离型拓扑同化实验设置 |
| 3.4.2 二次W距离型拓扑同化测试与结果 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 基于字典学习的稀疏约束型图像数据同化 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 结构字典学习 |
| 4.2.1 框架与紧框架 |
| 4.2.2 数据驱动紧框架 |
| 4.3 海表流场重建与基于结构字典的稀疏约束型变分同化 |
| 4.3.1 流场重建四维变分同化模型 |
| 4.3.2 基于涡量结构字典的稀疏约束型数据同化模型 |
| 4.3.3 分裂Bregman迭代算法 |
| 4.3.4 实际海洋动力学模型 |
| 4.3.5 梯度计算 |
| 4.4 数值模拟 |
| 4.4.1 动力学模型及同化实验设置 |
| 4.4.2 流场重建的同化测试与结果 |
| 4.5 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表的论文及其他成果 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
四、一维扩散方程扩散系数的变分同化估计（论文参考文献）
- [1]基于元胞自动机的河流水质模拟及数据同化研究[D]. 张玮. 山东大学, 2021(12)
- [2]几类偏微分方程图像去噪模型及求解算法[D]. 单秀杰. 哈尔滨工业大学, 2021(02)
- [3]基于复扩散滤波和深度学习的地震勘探噪声压制模型研究及应用[D]. 张钰姝. 吉林大学, 2021(01)
- [4]分数阶偏微分方程反问题的若干研究[D]. 宋晓燕. 湖南大学, 2020(02)
- [5]机器学习和数值方法相结合的偏微分方程正反问题的求解[D]. 龙子超. 北京大学, 2020(02)
- [6]图像复原与分割的偏微分方程模型与数值实现[D]. 郭杰斌. 重庆大学, 2020(02)
- [7]时间分数阶扩散模型的反问题及应用[D]. 孙春龙. 东南大学, 2020(02)
- [8]无界区域上偏微分方程的快速算法[D]. 马向. 清华大学, 2020(01)
- [9]参数反演的贝叶斯方法及其应用研究[D]. 刘艳杰. 山东理工大学, 2020(02)
- [10]基于水平集和最优传输的数据同化海洋污染预报：理论与算法[D]. 李龙. 哈尔滨工业大学, 2020(01)