一、非线性方程组的Newton法及Newton型迭代法收敛性分析（论文文献综述）
徐浩,司智勇[1]（2021）在《求解非线性方程组的Newton型方法研究》文中进行了进一步梳理Newton迭代法是求解非线性方程组的重要方法,目前使用的很多其他类型的迭代法都是以Newton迭代法为基础,在其上延伸与拓展之后得到的。但是这种方法仅仅利用了迭代点及Jacobi矩阵的性质,没有充分利用其他点及其Jacobi矩阵的信息。本文利用多重迭代的思想对求解非线性方程组的Newton法进行改进,并结合修正Newton迭代法、简化Newton迭代法对算法进行改进,得到四种新型的求解非线性方程组的Newton型迭代方法。对算法进行严格的理论分析表明这四种Newton型迭代法都是收敛的。为了说明算法的有效性,我们给出了一些数值实验结果,数值结果表明四种方法均具有较快的收敛速度,说明文中提出的算法是有效的。
陆东[2]（2021）在《Newton-Steffensen型迭代在广义Lipschiz条件下的收敛性研究及其应用》文中提出本文研究一种Newton-Steffensen型迭代在广义Lipschitz条件下的半局部和局部收敛性,得到了该迭代法的三阶收敛性.所得结论果推广了有关文献的收敛性结果.具体陈述如下:在第一章中,简要介绍了近些年Newton及其变形在求解非线性方程的部分研究工作.此外,介绍了后继所需的相关预备知识.在第二章中,应用优序列法研究了Newton-Steffensen型迭代法在广义Lipschitz条件下的半局部收敛性,得到了相应的收敛判据及新的误差估计.作为特例,得到了在L-平均Lipschitz条件的收敛结果,进而可得在经典Lipschitz条件和λ-条件下的收敛结果,此外也得到了在H?lder条件的新的结果.在第三章中,应用优序列法研究了Newton-Steffensen型迭代法在广义Lipschitz条件下的局部收敛性,得到了H?lder条件下新的局部收敛结果,推广了相关的结果.第四章中,通过计算一种二阶非线性边值的问题来验证所得理论结果的有效性.
龙海娥[3]（2021）在《求解非线性反问题的Nesterov型加速算法研究》文中指出近年来,受其他学科和众多工程技术领域应用需要的驱动,非线性反问题引起了国内外学者的极大兴趣和高度重视。其中涉及对扩散光学层析成像、光声成像、半导体的掺杂问题、多边界测量参数识别等问题的反演理论、算法及应用研究尤为引人关注。从数学视角出发,这些问题均可抽象为包含多个非线性不适定算子方程的数学模型。然而,解决这类问题不仅面临非线性性和不适定性的双重困扰,还因问题本身规模巨大而对算法的计算效率、计算机的存储空间等都提出了更高要求。因此,构造格式简单且收敛速度快的迭代正则化方法尤为重要。此外,随着实际应用需求的提高,人们越来越关注一些复杂问题的反演,例如具有非光滑正向算子的反问题。目前为止大部分研究成果是基于Banach空间中的不可微正则化方法,而关于Hilbert空间中非光滑反问题的研究工作则非常有限,且已经发展起来的一些反演理论和算法也很不完善,因而尚具有很大的探索空间。基于以上研究现状,通过引入Nesterov加速技术,本文构造了几种求解非线性反问题的快速算法。主要研究工作如下:针对包含多个非线性不适定算子方程的系统,基于收敛速度较快的同伦摄动迭代算法,结合Kaczmarz加速策略构造同伦摄动-Kaczmarz迭代方法。在其基础上引入Nesterov加速格式的推广形式,进一步提出Nesterov型加速同伦摄动-Kaczmarz迭代方法。以偏差原则为停止准则,基于适当的假设条件分别给出两种方法的收敛性和正则性分析。同时通过数值模拟验证方法的有效性和加速效果。考虑包含多个非线性不适定算子方程的系统,为兼顾解的稀疏性和光滑性而同时引入L1-范数罚项和L2-范数罚项,将问题转化为求解一个非光滑混合正则化模型。为提高临近正则Gauss-Newton迭代方法在求解这一模型时的计算效率,结合Kaczmarz加速思想和Nesterov加速技术,先后提出临近正则Gauss-Newton-Kaczmarz迭代和Nesterov型加速的临近正则Gauss-Newton-Kaczmarz迭代方法。理论上分别给出它们的收敛性和正则性分析。继而将这两种方法分别应用于经典的椭圆参数识别和扩散光学层析成像的光学参数重构问题,数值结果表明所提方法不仅能反演出更高质量的重构图像,且具有显着的加速效果。为求解具有非光滑正向算子的非线性不适定问题,引入Bouligand次微分和推广形式的Nesterov加速格式构造Nesterov型加速Bouligand-Landweber迭代方法。基于广义切锥条件和对组合参数的适当假设,并通过引入渐进稳定性概念在理论上给出收敛性分析。此外,采用离散回溯搜索算法选择组合参数以优化加速效果,并证明此加速迭代算法也是收敛的正则化方法。进而将该方法应用于一个典型的非光滑非线性问题上,通过数值模拟表明所构造的方法在求解非光滑非线性反问题时加速效果显着,大幅减少总迭代次数及计算时间的同时保证了重构解的精度。
谷瑞雪[4]（2021）在《Banach空间中非线性反问题的若干迭代正则化方法研究》文中提出反问题作为一门新兴的交叉学科,在地球物理、生物医学、材料科学和工程控制等方面的应用日益增多。由于反问题的应用背景十分广泛,国内外学者高度重视其理论及应用的研究。特别地,在一些实际应用反问题中,如医学成像、信号分析等,常常遇到解为不连续函数或含尖点的函数,求解此类反问题时解的非光滑特征非常重要,这使得Banach空间中非线性反问题理论和算法的研究尤为引人关注。本文针对Banach空间中的非线性反问题,考虑解为不连续或者具有稀疏性的非光滑函数的情况,研究几类基于非光滑凸罚项的高效迭代正则化方法,结合偏差原则为停止准则,分析方法的收敛性和正则性,并通过数值模拟对所提方法的可行性和有效性进行验证。本文的具体工作如下:Landweber迭代法可以看作是求解相应无约束泛函极小的梯度下降法,格式简单、易于数值实现,但是收敛速度较慢。为加快Landweber迭代法的收敛速度,本文基于求解适定问题的序列子空间优化方法,针对Banach空间中的非线性反问题提出带有非光滑凸罚项的序列子空间优化方法。与Landweber迭代法不同,此方法在每步迭代利用多个搜索方向且通过Bregman投影选取相应的搜索步长。在一定假设条件下,证明了数据无噪声情况下这一方法的收敛性并详细探讨迭代步长的计算方法。当数据含噪声时,结合偏差原则为迭代的停止准则,分析了方法的正则性。最后,将此方法应用到具体的非线性参数识别反问题中,通过与Landweber迭代法对比,数值验证所提方法对重构非光滑解的有效性以及在迭代次数和计算时间等方面的加速效果。非精确Newton-Landweber方法是求解非线性反问题的一种先线性化后正则化的迭代法。此方法包含内外两层迭代:内层迭代由Landweber迭代法求解局部线性化方程产生;外层迭代为Newton法。为加快这一方法的内层迭代速度,本文引入Nesterov加速策略,提出基于两点梯度法的非精确Newton正则化方法。首先,将Nesterov加速策略引入到Landweber迭代法并用一般的耦合参数代替此策略中的相应系数,构造两点梯度法。进而,将其作为非精确Newton正则化方法的内迭代策略。在适当的假设条件下,证明了所提方法的收敛性和正则性,并详细分析了耦合参数的选取方法。最后,通过对椭圆微分方程的参数识别和热传导方程的Robin系数重构两个算例的数值模拟,验证这一方法较非精确Newton-Landweber方法在节省总的内层迭代次数及计算时间等方面的优势。Landweber-Kaczmarz方法是一种适用于大规模非线性反问题求解的迭代正则化方法,其基本思想是将大规模问题分割成一些“小”的子问题,继而应用Landweber迭代法循环求解每一个子问题。为构造此方法的加速算法,本文将加速的同伦摄动迭代法与Kaczmarz方法结合,提出加速同伦摄动-Kaczmarz方法。首先,基于同伦摄动迭代法,将其视为具有两个搜索方向的迭代格式,并通过优化方法确定迭代步长,构造加速的同伦摄动迭代法,再将其与Kaczmarz方法结合,构造加速同伦摄动-Kaczmarz方法。其次,结合适当的停止准则,在理论上分析了这一方法的收敛性和正则性。最后,在数值方面,进行由多个内部源的边界测量数据反演椭圆微分方程参数的数值模拟。结果表明,相较于常用的Landweber-Kaczmarz迭代法,此方法不仅能反演出质量较高的重构结果,且所需总的迭代次数及计算时间较少,加速效果显着。
尹晓霞[5]（2021）在《求解广义绝对值方程的高效分裂迭代算法研究》文中研究说明广义绝对值方程（GAVE）是一类重要的非线性不可微优化问题,其主要研究来源是线性互补问题（LCP）,而LCP是一类具有广泛实际应用背景的优化问题.LCP在一定条件下可以转化为GAVE.本文主要建立了大规模GAVE的两种高效的分裂迭代算法,进一步讨论了新方法的收敛性结论,另外还通过数值实验验证算法的可行性和高效性.本文的主要工作如下:第一章,主要阐述了GAVE的研究背景、主要研究来源以及研究现状,并且介绍了相关的预备知识.第二章,利用内外迭代技术,将广义正定和反Hermitian分裂（GPSS）作为Picard迭代法的内迭代求解器,建立了求解GAVE的Picard-GPSS迭代法,并给出了该迭代法的收敛性条件.最后通过数值实验验证了Picard-GPSS迭代法的高效性.第三章,对线性部分的系数矩阵作广义Shift分裂,建立了求解GAVE的Shift分裂修正Newton-型（SSMN）迭代法.详细讨论了SSMN迭代法的收敛条件.进一步给出了系数矩阵分别是对称正定矩阵或H+-矩阵时SSMN迭代法收敛的一些充分条件.最后通过两个算例表明SSMN迭代法是一种求解GAVE的有效迭代法.第四章,总结本文的研究成果以及后续需要进一步探讨的问题.
付振武[6]（2020）在《求解非线性反问题的若干正则化算法研究》文中研究表明反问题作为一门新兴的交叉学科,由于其在生产生活以及科学研究中存在的广泛性得到密切关注。然而,由于反问题不适定的本质,直接求解无法获得其稳定解。因此,为求其稳定解,需要使用正则化技巧。常用正则化技巧包括变分正则化方法以及迭代正则化方法,其中Landweber型迭代以及Newton型迭代正则化方法是两类重要的迭代算法。本文将分析Landweber型加速算法和几类Newton型迭代正则化算法并且用于重构非线性反问题的解。本文的具体工作如下:为求解Hilbert空间中具有非光滑正算子的非线性反问题,本文考虑投影Bouligand-Landweber迭代正则化算法,该算法为一般Bouligand-Landweber迭代算法的加速。通过引入渐进稳定的概念,分析了该算法的正则性。为验证算法的加速效果,给出具有非光滑性的半线性算子方程数值模拟结果。数值结果表明,本文提出的投影Bouligand-Landweber迭代正则化算法求解非光滑非线性反问题时具有明显加速效果。为求得Hilbert空间中非线性反问题的非光滑解,本文考虑带有一般凸罚项的Levenberg-Marquardt迭代正则化算法,为选取恰当的正则化参数,提出了一种参数选取准则。使用凸分析相关知识,讨论了算法的收敛性以及正则性。通过数值模拟,验证该参数选取准则下算法在重构非线性反问题非光滑解时的有效性。另外,数值模拟时对比了本文参数选取与几何序列参数选取时的重构结果,说明了提出该参数选取准则的必要性。针对Banach空间中非线性反问题求解问题,本文对原有基于非稳定点Tikhonov迭代的非精确Newton算法（REGINN-IT算法）进行改进,提出了带有一般凸罚项的REGINN-IT算法,该算法可用于重构非线性反问题的非光滑解。使用凸分析相关知识,对算法进行了收敛性分析:当右端项数据精确时,给出了算法的收敛性;当右端项数据包含噪声时,给出了算法正则性。为验证算法有效性,给出抛物方程参数识别以及椭圆方程参数识别两个数值算例。数值算例说明本文提出的REGINN-IT算法在重构稀疏解以及分片光滑解时具有良好效果。现存文献中迭代算法停止准则大多数为偏差原则,然而偏差原则对噪声水平的精确性要求较高,过高或过低估计噪声水平的值都会给重构结果带来一定影响。鉴于此,本文构造启发式函数,用于停止Gauss-Newton算法。当反问题正向算子满足变分源条件时,给出该启发式停止准则下Gauss-Newton迭代格式的后验误差估计;当没有任何源条件假设时,证明该启发式停止准则下Gauss-Newton迭代格式的正则性。数值实验表明,该启发式停止准则下,Gauss-Newton迭代格式可以有效重构非线性反问题非光滑解。另外,数值算例为Gauss-Newton算法以偏差原则为停止准则时噪声水平过高或过低估计无法有效重构反问题非光滑解提供佐证。
武松[7]（2020）在《非线性方程组的几类算法研究》文中指出近年来,非线性方程组问题越来越多地出现在科学与工程计算领域中.例如机器学习、人工智能、金融计算、石油地质探测、卫星轨道预测等各个领域都涉及到非线性方程组问题,如何有效地快速求解各类非线性方程组问题受到人们的普遍关注.本文主要提出了求解非线性方程组的一类修正的拟牛顿法、Newton-GPSS法的几类修正算法和Newton-SGPSS法,具体内容如下:第一章:主要介绍了本文的研究背景及意义、国内外研究现状以及论文的主要研究内容.在预备知识中介绍了求解非线性方程组的经典牛顿法、拟牛顿法、Newton-GPSS法并给出了其收敛性分析.第二章:基于文献[26]提出的求解非线性方程组的拟牛顿法,通过利用最后三个迭代点之间的一个二次插值关系构造近似的Jacobian矩阵,提出了求解非线性方程组的一类修正的拟牛顿法并分析了其收敛性.数值测试算例结果表明修正的拟牛顿法具有优良的特性.第三章:首先,用修正的牛顿法代替经典牛顿法作为不精确Newton法的外迭代求解器,提出了用于求解具有非Hermitian正定Jacobian矩阵的非线性方程组的修正Newton-GPSS法,并分析了其局部收敛性.进一步,利用超松弛加速技术,提出了一类加速修正Newton-GPSS法并分析了其收敛性.其次,利用多步修正的牛顿法作为不精确Newton法的外迭代求解器,提出了多步修正Newton-GPSS法并给出了其局部收敛性分析.最后,大量的数值测试算例结果表明所提的三种方法在CPU时间及迭代数目方面都明显优于Newton-GPSS法.第四章:基于广义的正定和反Hermitian分裂迭代技术,构造了求解具有非Hermitian正定线性方程组的SGPSS法并分析了其收敛性,该方法避免了求解系数矩阵为+2的线性子系统.另外,为了提高计算效率,分别利用经典牛顿法和修正的牛顿法作为不精确Newton法的外迭代求解器,同时SGPSS法作为内迭代,提出了求解具有非Hermitian正定Jacobian矩阵的非线性方程组的Newton-SGPSS法和修正Newton-SGPSS法,并给出了其局部收敛性分析.最后,大量的数值测试算例结果验证了所提出方法的可行性与有效性.第五章:对本文的工作进行了总结并提出了下一步进行研究的方向.本文总共有图2幅,表34张,参考文献54个.
刘伟[8]（2020）在《非凸问题鞍点计算的新算法及其应用研究》文中研究说明本文研究非凸问题鞍点计算的新算法及其应用,主要内容分为四个部分.第一部分,我们研究计算无约束鞍点的基于新的优化策略的局部极小极大方法（LMM）.首先,我们给出一类推广的局部极小极大原理,并从连续动力学的角度理解LMM能以稳定方式计算不稳定鞍点的数学本质.然后,我们在使用一般下降方向的LMM算法框架下,系统地讨论各种步长搜索准则的可行性,并建立完整的全局收敛性结果.这使得各种高效的优化策略可以应用到LMM算法中.特别地,我们提出全局收敛的Barzilai-Borwein（BB）型LMM、共轭梯度型LMM和L-BFGS型LMM三类新的LMM算法,用于改进传统LMM算法的计算效率.最后,我们将新的LMM算法应用于几类半线性椭圆边值问题、带非线性边界条件的椭圆问题和Kirchhoff型拟线性非局部问题的多解计算,并比较不同LMM算法的数值性能.广泛的数值结果表明,这三类新的LMM算法能显着地提高传统LMM算法的计算效率.第二部分,我们研究计算无约束鞍点的基于新的优化策略的虚拟几何对象型LMM（VGOLMM）.首先,基于对一类广义的VGOLMM动力系统的分析,我们提出使用一般下降方向的广义VGOLMM算法框架,并在这一框架下讨论不同步长搜索准则及相应的全局收敛性.许多高效的优化策略可以用于实现该VGOLMM算法框架.由于BB策略的简单性和高效性,我们提出使用BB型步长的VGOLMM算法.最后,我们将新的VGOLMM算法应用于散焦型非线性Schr?dinger方程和一类Allen-Cahn型奇异摄动Neumann问题的多解计算,得到了丰富的数值结果.数值结果表明,使用BB型步长的VGOLMM算法比原始VGOLMM算法的收敛更快.第三部分,我们研究计算玻色-爱因斯坦凝聚体（BEC）基态解的精确、高效的新算法.BEC的基态解通常定义为相应的Gross-Pitaevskii（GP）能量泛函在某些约束条件下的最小值点,离散归一化梯度流法（GFDN,或虚时间演化法）是计算BEC基态解的最主要的方法之一.我们以单组分BEC和spin-1 BEC模型为例,通过分析和数值实验说明,采用基于GFDN的几种典型时间离散格式计算BEC基态往往会得到误差依赖于时间步长的不准确的结果,这是本文的一个重要发现.为了改进GFDN,我们提出计算BEC基态解的带Lagrange乘子的梯度流法（GFLM）,并证明基于GFLM的各种典型的时间离散格式均能与基态解的Euler-Lagrange方程精确匹配.进一步,我们将GFLM推广到具有挑战性的一般spin-F BEC模型,并研究确定投影常数的方法.由于精确投影方法往往在计算上比较复杂或缺乏投影常数的存在唯一性保证,我们提出两类非精确投影策略,使得投影常数可以直接显式计算,并估计它们的约束违反度.最后,我们给出spin-1,spin-2和spin-3情形的广泛的数值结果以及观测到的一些非常有趣的基态现象.第四部分,我们研究计算约束鞍点的新算法并应用于BEC激发态计算.首先,我们提出计算一般约束鞍点的约束最柔上升动力学（CGAD）方法,证明其稳定平衡点是具有对应指标的约束鞍点,并对一类理想化的CGAD建立约束鞍点附近的局部指数收敛性.然后,我们将CGAD应用到BEC模型的激发态计算.由于BEC的激发态对应于GP能量泛函在某些约束条件下的能量高于基态的临界点,因此GP能量泛函的约束鞍点一定是激发态解.我们应用CGAD计算单组分BEC模型对应的GP能量泛函在单位球面约束下的鞍点,并设计基于（半隐）向后向前Euler时间离散格式和Gram-Schmidt正交规范化过程的高效数值格式.最后,我们基于一维和二维数值实验,发现了一些新的激发态解和有趣的物理现象.
何学飞[9]（2020）在《几类具有振荡解方程的高精度有限差分逼近》文中研究说明科学工程领域中很多数学模型的解都具有激烈的振荡性。由于这一特性的存在,设计它们的高精度逼近算法常常具有一定的挑战性。太粗的离散网格不能准确刻画问题解的性态,而太细的离散网格又会带来很大的计算量。本文以奇异摄动方程、非线性Helmholtz方程和薛定谔-泊松方程为研究对象,设计了一类能有效处理具有振荡解问题的高精度有限差分方法。使用经典差分方法对微分方程进行求解时,常常需要假设方程的解在网格点的某个邻域内充分光滑并需要在泰勒展开式中略去了一个由方程解的导数值和离散网格尺寸组成的“高阶项”。而对于上述三种具有激烈振荡解的方程,由正则性分析可知,它们的解的光滑性与方程中的某些“关键参数”密切相关。对解的光滑性假设越高,差分格式的截断项对“关键参数”的依赖性就越强,相应范数的值也就越大。如奇异摄动方程中的“关键参数”就是摄动系数,在边界附近,该方程解的导数值与摄动系数的倒数成正比关系。因此,在对它使用差分方法进行逼近时舍去的“高阶项”的值可能比较大,从而导致使用经典差分方法取得的计算效果不佳。其它两个方程也有类似的情况。本文中,我们首先利用方程本身的性质将解的高阶导数项转化为低阶形式;然后将这一结果应用到泰勒展开式中,并根据关键参数与离散网格的关系对泰勒展开式进行重排,必要时运用初等函数对某些和式进行简化,从而得到新的泰勒展开式;最后从这个新的泰勒展开式出发构建原方程中函数导数项的差商近似,进而得到新的差分格式。因为经过这种处理后略掉的“高阶项”与方程“关键参数”不相关,所以运用相应的差分格式对方程进行逼近能取得很好的计算精度。基于上述思想,本文的二、三和四章分别对奇异摄动方程、非线性Helmholtz方程和薛定谔-泊松方程进行了研究。首先,在构造了一维奇异摄动方程的新型差分格式后,借用隐式方向交替法（ADI）,我们将格式推广到了二维情形下,并分别通过误差分析表明该高精度有限差分格式能够获得不受摄动系数影响的收敛阶。然后,对于非线性Helmholtz方程,在采用误差校正迭代方法对其进行线性化后,我们推导了一维和二维空间中该方程的高精度差分格式。因为该问题的解属于复数域,所以实际需要求解的是由方程实部和虚部两个子问题组成的方程组,而且多种介质的存在还使得该问题具有间断系数。通过对其求解,我们成功重复了光学双稳态以及孤立波的传播、碰撞实验。最后,针对薛定谔-泊松方程,在运用Gummel迭代法对该耦合的非线性问题进行解耦后,我们设计了对含有间断系数和间断右端项的问题同样具高精度逼近效果的差分格式,并对RTD中的电子隧穿进行了精确模拟。
张燕美[10]（2020）在《对流扩散方程保正格式与平衡辐射扩散方程数值方法》文中研究指明本论文的主要内容包括三部分:（1）非定常对流扩散方程保正格式的构造及其解的存在性证明;（2）含守恒型非线性能量时间导数项的扩散问题全隐差分格式的数值分析及平衡辐射扩散方程的非线性迭代方法;（3）非线性扩散问题全隐有限体积格式分析及其在基于Saha电离模型的平衡辐射扩散方程中的应用.在第一部分中,发展了非定常对流扩散方程的非线性保正格式.通过结合采用引入网格边中点辅助未知量、离散通量非线性系数光滑化处理、对流算子修正校正等技术,设计高保真且适于理论分析的保正格式.该格式为单元中心型的,能保持局部通量连续,并适用于任意星形多边形网格.我们利用Brouwer不动点定理证明了格式解的存在性.数值结果表明该格式是保正的,且具有二阶精度.在第二部分中,首先考虑含守恒型非线性能量时间导数项的扩散问题离散格式,发展了新的论证技术,克服非线性能量时间变化项带来的困难,对全隐离散差分格式给出了解的存在性、唯一性、收敛性、稳定性的严格证明.然后讨论了求解平衡辐射扩散问题全隐（FI）格式的非线性迭代方法.结合Picard因式分解迭代法PF,研究了三种新的非线性迭代方法,即Picard-Newton因式分解迭代法（PNF）,Picard-Newton迭代法（PN）和无导数的Picard-Newton因式分解迭代法（DFPNF）.利用归纳论证技术处理问题的强非线性,对四种迭代方法的基本性质进行了严格的理论分析.结果表明,它们均具有一阶时间和二阶空间收敛精度,并且保持了解的正性;PF迭代法和三种Newton型迭代法的迭代序列分别以线性和二次速度收敛于FI格式的解.数值实验验证了理论分析的结果,表明这些Newton型方法可实现有效的加速求解.在第三部分中,首先讨论了非线性扩散问题的全隐有限体积格式,通过对扩散系数加权调和平均的非线性离散扩散算子的细致估计,分析了该离散格式的相容性.运用Brouwer不动点定理证明了格式解的存在性,利用存在性给出的离散解的若干有界性估计,并利用一系列新的论证技巧,证明了格式的收敛性.然后将全隐有限体积格式应用于求解基于Saha电离模型的平衡辐射扩散方程.基于问题的特点,在迭代格式的设计中主要讨论了时间导数项的离散,将时间导数项分为两部分来考虑,给出三种迭代方法:Picard因式分解迭代+Picard迭代（PF+Picard）,Picard-Newton因式分解迭代+PN迭代（PNF+PN）,PN迭代+PN迭代（PN+PN）;对于空间导数项,采用Picard迭代.数值实验表明所构造的三种迭代格式均具有二阶空间收敛精度.
二、非线性方程组的Newton法及Newton型迭代法收敛性分析（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、非线性方程组的Newton法及Newton型迭代法收敛性分析（论文提纲范文）
（2）Newton-Steffensen型迭代在广义Lipschiz条件下的收敛性研究及其应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 预备知识 |
| 1.3 论文的组织 |
| 第2章 一种Newton-Steffensen迭代的半局部收敛性 |
| 2.1 主要结论 |
| 2.2 预备引理 |
| 2.3 定理2.1的证明 |
| 第3章 一种Newton-Steffensen迭代的局部收敛性 |
| 3.1 主要结论 |
| 3.3 定理3.1的证明 |
| 第4章 数值算例 |
| 总结 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间取得的科研成果 |
（3）求解非线性反问题的Nesterov型加速算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题背景及意义 |
| 1.2 Tikhonov正则化方法 |
| 1.3 迭代正则化方法 |
| 1.4 Kaczmarz型方法 |
| 1.5 Nesterov加速格式 |
| 1.6 非光滑非线性不适定问题 |
| 1.7 本文主要工作 |
| 第2章 Nesterov型加速同伦摄动-Kaczmarz迭代法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 方法的提出 |
| 2.2.1 同伦摄动迭代法 |
| 2.2.2 同伦摄动-Kaczmarz迭代法 |
| 2.2.3 Nesterov型加速同伦摄动-Kaczmarz迭代法 |
| 2.3 同伦摄动-Kaczmarz迭代法收敛性分析 |
| 2.4 Nesterov型加速同伦摄动-Kaczmarz迭代法收敛性分析 |
| 2.5 数值模拟 |
| 2.5.1 1-D椭圆参数识别 |
| 2.5.2 2-D椭圆参数识别 |
| 2.6 本章小结 |
| 第3章 Nesterov型加速的临近正则Gauss-Newton-Kaczmarz迭代法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 方法的提出 |
| 3.2.1 临近算子 |
| 3.2.2 临近正则Gauss-Newton-Kaczmarz迭代法 |
| 3.2.3 Nesterov型加速的临近正则Gauss-Newton-Kaczmarz迭代法 |
| 3.3 临近正则Gauss-Newton-Kaczmarz迭代法收敛性分析 |
| 3.4 Nesterov型加速的临近正则Gauss-Newton-Kaczmarz迭代法收敛性分析 |
| 3.5 数值实现 |
| 3.6 数值模拟 |
| 3.6.1 扩散光学层析成像 |
| 3.6.2 2-D椭圆参数识别 |
| 3.7 本章小结 |
| 第4章 Nesterov型加速Bouligand-Landweber迭代法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 方法的提出 |
| 4.3 收敛性分析 |
| 4.3.1 适定性和收敛性 |
| 4.3.2 正则化性质 |
| 4.3.3 组合参数的选取 |
| 4.4 求解非光滑半线性椭圆方程的迭代正则化方法 |
| 4.5 数值实验 |
| 4.5.1 数值离散 |
| 4.5.2 数值算例 |
| 4.6 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表的论文及其它成果 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（4）Banach空间中非线性反问题的若干迭代正则化方法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题背景及意义 |
| 1.2 Tikhonov正则化方法 |
| 1.3 迭代正则化方法 |
| 1.3.1 Landweber迭代法 |
| 1.3.2 Newton型迭代法 |
| 1.3.3 Kaczmarz型正则化方法 |
| 1.4 本文主要工作 |
| 第2章 带有非光滑凸罚项的序列子空间优化方法 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.1.1 Banach空间的几何性质 |
| 2.1.2 凸函数和Bregman距离 |
| 2.1.3 Bregman投影 |
| 2.2 方法的提出 |
| 2.3 收敛性分析 |
| 2.4 正则性分析 |
| 2.5 数值模拟 |
| 2.5.1 稀疏重构 |
| 2.5.2 不连续探测 |
| 2.6 本章小结 |
| 第3章 基于两点梯度法的非精确Newton正则化方法 |
| 3.1 方法的提出 |
| 3.2 理论分析 |
| 3.3 数值模拟 |
| 3.3.1 椭圆参数识别 |
| 3.3.2 Robin系数重构 |
| 3.4 本章小结 |
| 第4章 加速同伦摄动-Kaczmarz方法 |
| 4.1 方法的提出 |
| 4.2 收敛性分析 |
| 4.3 正则性分析 |
| 4.4 数值模拟 |
| 4.4.1 多内部源的参数识别问题 |
| 4.4.2 单内部源的参数识别问题 |
| 4.5 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表的论文及其它成果 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（5）求解广义绝对值方程的高效分裂迭代算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 1.4 预备知识 |
| 1.4.1 求解线性系统的高效分裂迭代法 |
| 1.4.2 求解绝对值方程的经典迭代法 |
| 1.4.3 符号说明 |
| 1.4.4 本文用到的定义 |
| 第2章 求解广义绝对值方程的Picard-GPSS迭代法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 Picard-GPSS迭代法 |
| 2.3 收敛性分析 |
| 2.4 数值实验 |
| 2.5 本章小结 |
| 第3章 求解广义绝对值方程的Shift分裂修正Newton-型迭代法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 Shift分裂修正Newton-型迭代法 |
| 3.3 收敛性分析 |
| 3.3.1 一般情形 |
| 3.3.2 对称正定的情形 |
| 3.3.3 H_+-矩阵的情形 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 结论与展望 |
| 4.1 本文的主要研究成果 |
| 4.2 需要进一步探讨的问题 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 附录 攻读学位期间所发表的学术论文 |
（6）求解非线性反问题的若干正则化算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题背景及意义 |
| 1.2 Hilbert空间中正则化方法 |
| 1.2.1 Hilbert空间中Tikhonov正则化方法 |
| 1.2.2 Hilbert空间中迭代正则化方法 |
| 1.3 Banach空间中正则化方法 |
| 1.3.1 Banach空间中Tikhonov正则化方法 |
| 1.3.2 Banach空间中迭代正则化方法 |
| 1.4 本文主要研究内容 |
| 第2章 投影Bouligand-Landweber迭代算法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 投影算子 |
| 2.3 投影Bouligand-Landweber迭代算法收敛性分析 |
| 2.3.1 算法收敛性 |
| 2.3.2 正则性 |
| 2.4 数值模拟 |
| 2.5 本章小结 |
| 第3章 Levenberg-Marquardt算法的正则化参数选取 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 凸分析简述 |
| 3.3 收敛性分析 |
| 3.3.1 噪声数据下算法分析 |
| 3.3.2 精确数据下算法分析 |
| 3.3.3 算法的正则性分析 |
| 3.4 数值模拟 |
| 3.4.1 非线性Hammerstein方程 |
| 3.4.2 椭圆方程参数估计 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 基于非稳定点Tikhonov迭代非精确Newton法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 收敛性分析 |
| 4.2.1 噪声数据下算法分析 |
| 4.2.2 精确数据下算法分析 |
| 4.2.3 算法正则性分析 |
| 4.3 数值模拟 |
| 4.3.1 Robin系数重构 |
| 4.3.2 椭圆方程参数估计 |
| 4.4 本章小结 |
| 第5章 Gauss-Newton算法的启发式停止准则 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 算法的收敛性分析 |
| 5.2.1 后验误差估计 |
| 5.2.2 收敛性 |
| 5.3 数值模拟 |
| 5.3.1 椭圆方程参数估计 |
| 5.3.2 非光滑不适定问题 |
| 5.4 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表的论文及其他成果 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（7）非线性方程组的几类算法研究（论文提纲范文）
| 致谢 |
| 摘要 |
| Abstract |
| 变量注释表 |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 国内外研究动态 |
| 1.3 预备知识 |
| 1.4 本文的主要内容 |
| 2 非线性方程组的一类修正的拟拟牛顿法 |
| 2.1 基于RALND函数的拟牛顿法 |
| 2.2 修正的拟牛顿法 |
| 2.3 收敛性分析 |
| 2.4 数值算例 |
| 2.5 本章小结 |
| 3 非线性方程组Newton-GPSS迭代法的几类修正算法 |
| 3.1 修正Newton-GPSS迭代法及其收敛性分析 |
| 3.2 加速修正Newton-GPSS迭代法及其收敛性分析 |
| 3.3 多步修正Newton-GPSS迭代法及其收敛性分析 |
| 3.4 数值算例 |
| 3.5 本章小结 |
| 4 非线性方程组的Newton-SGPSS迭代法 |
| 4.1 SGPSS方法 |
| 4.2 Newton-SGPSS迭代法及其收敛性分析 |
| 4.3 修正Newton-SGPSS迭代法及其收敛性分析 |
| 4.4 数值算例 |
| 4.5 本章小结 |
| 5 结论与展望 |
| 5.1 结论 |
| 5.2 展望 |
| 参考文献 |
| 作者简历 |
| 学位论文数据集 |
（8）非凸问题鞍点计算的新算法及其应用研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| ABSTRACT |
| 1 绪论 |
| 第二章 基于新的优化策略的局部极小极大方法(LMM) |
| 2.1 推广的局部极小极大原理与LMM的动力学观点 |
| 2.1.1 推广的局部极小极大原理 |
| 2.1.2 LMM的动力学观点 |
| 2.2 使用一般下降方向的LMM算法及其全局收敛性 |
| 2.2.1 使用一般下降方向的LMM算法框架 |
| 2.2.2 标准化Armijo、Goldstein和Wolfe-Powell型搜索准则 |
| 2.2.3 非单调搜索准则 |
| 2.2.4 全局收敛性分析 |
| 2.3 三类高效的LMM算法 |
| 2.3.1 全局收敛的Barzilai-Borwein型LMM(GBBLMM) |
| 2.3.2 共轭梯度型LMM(CGLMM) |
| 2.3.3 L-BFGS型LMM(LBFGSLMM) |
| 2.4 应用于非线性边值问题的多解计算 |
| 2.4.1 半线性椭圆Dirichlet边值问题 |
| 2.4.2 带非线性边界条件的椭圆问题 |
| 2.4.3 Kirchhoff型拟线性非局部问题 |
| 第三章 基于新的优化策略的虚拟几何对象型LMM |
| 3.1 使用虚拟几何对象的LMM(VGOLMM)介绍 |
| 3.2 基于广义VGOLMM动力系统的局部极小极大原理 |
| 3.3 基于新的优化策略的VGOLMM及其全局收敛性 |
| 3.3.1 广义VGOLMM算法框架 |
| 3.3.2 几种典型的搜索准则 |
| 3.3.3 全局收敛性分析 |
| 3.3.4 基于BB型步长的VGOLMM算法 |
| 3.3.5 虚拟曲线的实现方法 |
| 3.4 应用于几类W-型问题的多解计算 |
| 3.4.1 散焦型非线性Schr?dinger方程 |
| 3.4.2 Allen-Cahn型奇异摄动Neumann问题 |
| 第四章 计算玻色-爱因斯坦凝聚体基态解的新算法 |
| 4.1 GFDN方法的局限性及其改进:带 Lagrange乘子的梯度流法(GFLM) |
| 4.1.1 计算单组分BEC基态解的GFDN方法介绍 |
| 4.1.2 计算单组分BEC基态解的GFLM方法 |
| 4.1.3 多组分BEC情形(以spin-1 BEC为例) |
| 4.1.4 spin-1 BEC的数值结果 |
| 4.2 计算一般spin-F BEC基态解的GFLM方法 |
| 4.2.1 一般spin-F BEC的数学模型和一类广义的CNGF |
| 4.2.2 计算一般spin-F BEC基态解的GFLM算法框架 |
| 4.2.3 非精确投影策略及其约束违反度估计 |
| 4.2.4 数值结果 |
| 第五章 计算约束鞍点的新算法和BEC激发态模拟 |
| 5.1 约束鞍点的定义与不稳定性指标 |
| 5.2 计算一般约束鞍点的约束最柔上升动力学(CGAD)方法 |
| 5.2.1 最柔上升动力学(GAD)介绍 |
| 5.2.2 约束最柔上升动力学(CGAD) |
| 5.2.3 计算高指标约束鞍点的CGAD |
| 5.3 应用CGAD方法计算单组分BEC激发态 |
| 5.3.1 线性单组分BEC模型的激发态性质 |
| 5.3.2 计算单组分BEC激发态的CGAD及其离散格式 |
| 5.3.3 数值结果 |
| 总结和未来工作展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间完成论文情况 |
| 致谢 |
（9）几类具有振荡解方程的高精度有限差分逼近（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 有限差分方法 |
| 1.3 几类具有奇异振荡解方程的研究现状 |
| 1.3.1 奇异摄动问题研究简介 |
| 1.3.2 非线性Helmholtz方程研究简介 |
| 1.3.3 薛定谔-泊松方程研究简介 |
| 1.4 本文的主要工作 |
| 2 奇异摄动方程的高精度有限差分方法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 问题陈述 |
| 2.3 高精度有限差分方法 |
| 2.3.1 一维问题 |
| 2.3.2 二维问题 |
| 2.4 误差分析 |
| 2.4.1 预备知识 |
| 2.4.2 一维问题的误差分析 |
| 2.4.3 二维问题的误差分析 |
| 2.5 数值算例 |
| 2.6 本章小结 |
| 3 非线性Helmholtz方程的高精度有限差分方法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 非线性Helmholtz方程 |
| 3.3 迭代方法 |
| 3.3.1 经典迭代方法 |
| 3.3.2 误差校正方法 |
| 3.4 高精度有限差分格式 |
| 3.4.1 一维问题 |
| 3.4.2 二维问题 |
| 3.5 数值算例 |
| 3.6 本章小结 |
| 4 薛定谔-泊松方程的高精度有限差分方法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 薛定谔-泊松方程及其Gummel迭代 |
| 4.2.1 薛定谔-泊松方程系统 |
| 4.2.2 Gummel迭代 |
| 4.3 高精度差分格式 |
| 4.4 数值算例 |
| 4.5 本章小结 |
| 5 总结与展望 |
| 5.1 总结 |
| 5.2 展望 |
| 参考文献 |
| 附录 |
| A (?)的表达式 |
| B (?)的表达式 |
| C 龙格-库塔方法求解薛定谔方程和泊松方程 |
| D 作者在攻读学位期间发表的论文目录 |
| E 作者在攻读学位期间尚未发表的论文目录 |
| F 作者在攻读学位期间参加的部分学术交流 |
| G 学位论文数据集 |
| 致谢 |
（10）对流扩散方程保正格式与平衡辐射扩散方程数值方法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.1.1 对流扩散方程 |
| 1.1.2 辐射扩散方程 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.2.1 对流扩散方程 |
| 1.2.2 辐射扩散方程 |
| 1.3 本文的工作 |
| 第二章 非定常对流扩散方程的保正格式 |
| 2.1 问题与符号 |
| 2.2 保正格式的构造 |
| 2.2.1 扩散通量的离散 |
| 2.2.2 对流通量的离散 |
| 2.2.3 边中点值的计算 |
| 2.3 解的存在性 |
| 2.4 数值实验 |
| 2.4.1 扩散占优问题 |
| 2.4.2 对流占优问题 |
| 2.5 小结 |
| 第三章 非线性能量方程的全隐有限差分格式分析 |
| 3.1 非线性离散格式及其截断误差 |
| 3.2 非线性离散格式解的存在性 |
| 3.3 非线性离散格式的收敛性 |
| 3.3.1 L~∞(L~2)收敛性 |
| 3.3.2 L~∞(H~1)收敛性 |
| 3.4 非线性离散格式解的唯一性 |
| 3.5 非线性离散格式解的稳定性 |
| 3.6 小结 |
| 第四章 平衡辐射扩散方程的非线性迭代方法 |
| 4.1 迭代序列的构造 |
| 4.1.1 问题和记号 |
| 4.1.2 全隐离散格式 |
| 4.1.3 Picard因式分解(PF)迭代 |
| 4.1.4 Picard-Newton因式分解(PNF)迭代 |
| 4.1.5 Picard-Newton(PN)迭代 |
| 4.1.6 无导数的Picard-Newton因式分解(DFPNF)迭代 |
| 4.2 收敛精度与保正性 |
| 4.2.1 PF迭代的精度和保界性 |
| 4.2.2 PNF迭代的精度和保正性 |
| 4.2.3 PN迭代的精度和保正性 |
| 4.2.4 DFPNF迭代的精度和保正性 |
| 4.3 收敛速度 |
| 4.3.1 PF迭代的收敛速度 |
| 4.3.2 PNF迭代的收敛速度 |
| 4.3.3 PN迭代的收敛速度 |
| 4.3.4 DFPNF迭代的收敛速度 |
| 4.4 数值实验 |
| 4.4.1 人造解问题(精度和效率测试) |
| 4.4.2 人造解问题(保正性测试) |
| 4.4.3 强非线性问题(精度和效率测试) |
| 4.5 小结 |
| 第五章 非线性扩散问题全隐有限体积格式分析及其应用 |
| 5.1 非线性扩散问题 |
| 5.2 有限体积格式的构造 |
| 5.3 截断误差 |
| 5.3.1 非线性能量函数时间导数向后Euler离散的截断误差 |
| 5.3.2 非线性扩散算子有限体积离散的截断误差 |
| 5.3.3 截断误差方程 |
| 5.4 误差方程 |
| 5.5 全隐有限体积离散格式解的存在性 |
| 5.6 全隐有限体积离散格式解的收敛性 |
| 5.6.1 L~∞(L~2)收敛性 |
| 5.6.2 L~∞(H~1)收敛性 |
| 5.7 基于Saha电离模型的平衡辐射扩散方程的迭代序列的构造 |
| 5.8 数值实验 |
| 5.9 小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 总结 |
| 6.2 展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录7 攻读博士学位期间发表的论文 |
四、非线性方程组的Newton法及Newton型迭代法收敛性分析（论文参考文献）
- [1]求解非线性方程组的Newton型方法研究[J]. 徐浩,司智勇. 工程数学学报, 2021(03)
- [2]Newton-Steffensen型迭代在广义Lipschiz条件下的收敛性研究及其应用[D]. 陆东. 闽南师范大学, 2021(12)
- [3]求解非线性反问题的Nesterov型加速算法研究[D]. 龙海娥. 哈尔滨工业大学, 2021(02)
- [4]Banach空间中非线性反问题的若干迭代正则化方法研究[D]. 谷瑞雪. 哈尔滨工业大学, 2021(02)
- [5]求解广义绝对值方程的高效分裂迭代算法研究[D]. 尹晓霞. 兰州理工大学, 2021(01)
- [6]求解非线性反问题的若干正则化算法研究[D]. 付振武. 哈尔滨工业大学, 2020(02)
- [7]非线性方程组的几类算法研究[D]. 武松. 中国矿业大学, 2020(01)
- [8]非凸问题鞍点计算的新算法及其应用研究[D]. 刘伟. 湖南师范大学, 2020(01)
- [9]几类具有振荡解方程的高精度有限差分逼近[D]. 何学飞. 重庆大学, 2020(02)
- [10]对流扩散方程保正格式与平衡辐射扩散方程数值方法[D]. 张燕美. 中国工程物理研究院, 2020(01)