一、KP系统Lax算子及主对称的换位公式（论文文献综述）
任文秀[1]（2007）在《非线性发展方程的无穷维Hamilton方法》文中研究指明无穷维Hamilton系统是一类具有特别结构的偏微分方程（组）,它在非线性科学研究中占重要地位。本文以非线性发展方程为研究对象,在广义Poisson括号直接做定义的观点下,主要围绕bi-Hamilton结构、Hamilton线性正则表示等方面的内容对Hamilton可积性与无穷维Hamilton形式化问题做了探讨。不仅借助Magri理论,证明了一个新的无穷维Hamilton可积系统,而且从微分算子演算方法上,获得了一个实现某类Hamilton正则形式的有效机械化算法,又更进一步地提出将AC=BD理论引进到Hamilton系统的研究思想。其具体研究工作共分五章,第一章首先从考察Hamilton系统的变迁出发,由辛流形过渡到Possion流形,简要概述了其定义式的三种转型,认识到Hamilton方程完全由所约定的Poisson括号决定,且逐步形成对Hamilton框架的一个分类观点;其次针对无穷维Hamilton系统的辛算法、算子谱理论、Hamilton形式化等问题的研究进展与概况做了综述,阐明了无穷维Hamilton方法对一类有着深刻力学背景的非线性发展方程而言是重要的研究工具;然后用Hamilton结构与可积系统的关系说明了本文的选题背景。第二章以无穷维Hamilton算子为中心,介绍了一般（非线性）的无穷维Hamilton系统所涉及到的理论和相关概念,并利用Magri的bi-Hamilton理论,对一个发现不久的三阶非线性发展方程的Hamilton可积性做了完整的证明。通过两个关键环节:一是发现该方程的一个新Muria变换;二是证实由S.Yu.Sakovich获得的其循环算子具有遗传属性,使它的Hamilton结构得以确定。同时,也给出一些与之有关的代数属性,如谱系、守恒律等,且对一类特殊Hamilton算子进行了额外的讨论。第三章利用B.Fuchssteiner和A.S.Fokas定理,分析了构建非线性发展方程允许相容multi-Hamilton形式的方法,并基于循环算子证明了上述三阶方程具有tri-Hamilton结构。相应地,获得了该方程的第三条新型守恒律,为说明通过构建Hamilton结构来揭示守恒律这个途径提供了实例。在第四章里,我们探讨了数学机械化思想在Hamilton正则“（?）/（?）x”-型表示上的应用。在解决反问题的途径之一;矩阵多元多项式带余除法基础上,找到了新突破口-微分算子分解途径,获得了一个直观简明的代数方法,将反问题的实现转化为求解一个固定算子方程组的Hamilton正则解,并作为方法的应用,提供了几类方程详细的计算过程及结果,具有实际意义。最后,第五章为了揭示我们所获得算法的应用体系,扩展了AC=BD理论的适用领域,首次提出将该思想引入Hamilton体系的观点。
于发军[2]（2007）在《孤子方程族的可积耦合系统和分数阶Hamiltonian结构》文中进行了进一步梳理本文研究的主要内容包括：运用李代数，首先给出一些方程族的可积耦合系统的构造模式，并且给出了非等谱情形的离散可积耦合系统。进而讨论了连续和离散方程族的零曲率表示的李代数结构。另外，还介绍了孤子族的生成及Hamiltonian结构，Liouville可积性。最后利用分数阶微积分给出了孤子方程的分数阶Hamiltonian结构。其具体内容为：第一章介绍了孤立子理论，可积系统，非线性发展方程精确求解，分数阶微积分的历史发展及研究现状，同时介绍了国内外学者在这方面取得的成果。第二章简要的介绍了Kac-Moody代数，Hamiltonian函数的概念及相关的性质。详细的阐述和介绍了AC=BD理论中的一些相关的定理和性质及其在这个框架下的一些重要应用。第三章首先从新的谱问题出发导出一族矩阵Lax可积方程族，并获得它的Hamiltonian结构。另外从Lax对出发，采用提出的谱扩张方法得到了许多新的可积耦合方程族，在此基础上，把这种方法推广到高维空间，并获得了一系列的多分量可积耦合方程族。但是利用这种方法不能得到可积耦合方程族的Hamiltonian结构（尤其是多分量可积耦合方程族的Hamiltonian结构），针对此问题，文中给出广义的killing内积，并且运用广义的二次迹恒等式获得了多分量耦合系统的Hamiltonian结构。其中给出了多分量Jaulent-Miodek方程族，多分量2+1维GJ方程族和耦合Dirac方程族的Hamiltonian结构。另外利用一个广义的矩阵谱问题，得到了耦合方程族的R-矩阵。其中以AKNS族为例，得到了耦合AKNS方程族的R-矩阵。第四章从loop代数（?）1的一个子代数出发，利用屠格式求出了一类离散情形Lax可积耦合的系统，并且得到非等谱的离散可积方程族和耦合系统，另外我们还提出了2+1维非等谱离散可积耦合形式，利用谱参数λ满足的非等谱条件，得到了Blaszak-Marciniak晶格方程的耦合系统。国际着名杂志《Physics Letters A》的编委A.R.Bishop对此种方法给出了很好的评价“The method gives two kinds of classification to a soliton equation，itis an interesting and important work”。另外，进一步考虑了离散系统Darboux变换。最后讨论了离散可积方程与连续可积方程的联系，通常人们采用的是对势函数作变换，而文中采用对算子作变换，利用计算机软件通过比较算子的系数，得到了很好的结果，并且把一个新的离散方程转化成AKNS方程。这样做不仅可以建立离散与连续方程之间的关系，更重要的是可以通过连续型方程的精确解（解析解）获得相应的离散方程的数值解，这样就可以得到更多，更好的数值解。第五章在整数情形可积系统的基础上，进一步考虑分数形的Hamiltonian结构，文中运用了外微分与分数阶微积分结合，给出了分数空间和分数形式的Hamiltonian形式。在这里主要考虑要把整数情形的结论发展到分数情形，建立一套分数阶Hamiltonian结构和可积系统。我们已经完成了分数阶零曲率方程的构造，得到了分数阶情形的AKNS方程和C-KdV方程，并且给出了它们简单形式的Hamiltonian函数。另外利用Riemann-Liouville分数阶算子和分数形式的Possion括号，把Hamiltonian结构的辛形式推广到分数阶情形。
连增菊[3]（2005）在《非线性方程中的对称和对称约化的新进展》文中进行了进一步梳理对称性研究在各自然科学领域起着非常重要的作用。虽然在物理学和数学科学各分支研究中,对称性研究发展的相当不错,但是对称性研究仍然是一个很有活力的研究领域。特别是在可积系统研究领域中,由于无穷多对称的存在,对称性研究尤其受到人们的青睐。其中一方面是因为在对称性研究领域中还有许多重要的问题尚待解决,另一方面需要发展一些新的研究方法去研究复杂的非线性问题。在1+1维可积系统对称性研究中,强对称算子方法是一种最有效的方法,然而这种方法在高维中遇到了很大的阻碍,本论文第一部分内容在回顾了强对称算子的基本方法后,成功地对3+1维Burgers方程建立了强对称算子和逆强对称算子方法并由此给出了该模型的无穷多一般对称和完整的点李对称结构。在一个非线性系统的对称得到以后,最重要的问题是如何利用对称性去求得相应系统的严格解。传统方法是首先利用对称性求得系统得有限变换,然后根据有限变换得到或做（一次）对称约化以求得群不变解。本论文第二部分内容首先回顾了对称性约化的两种基本方法:Clarkson-Kruskal直接法和经典李群约化方法。然后我们发展了一种全新的对称性约化方法:循环约化法。在循环约化法中,我们利用一个特殊对称（或特殊解）得到相应的约化解（或对称）,然后由约化解（或对称）得到新对称（或新解）。如此反复使用,我们即可得到无穷多新解和新对称。本文将这种新方法成功地使用到了1+1维Burgers方程和Sharma-Tass-Olver（STO）方程。给出非线性方程的新类型的严格解一直是非线性科学中的重要问题。利用上述的对称性约化反复使用法,我们得到了1+1维Burgers方程和STO方程的许多新类型的严格解。如对于1+1维Burgers方程,我们给出了一般的有理解族、有理-扭结解族和两类有理-误差函数解族等。对于STO方程,我们得到了许多不易得到的特殊的孤子解族和周期波解族,如有理-负子解族、有理-正子解族和有理-复子解族等等。
顾新身[4]（2001）在《KP系统Lax算子及主对称的换位公式》文中研究指明本文讨论的是ＫＰ系统Ｌａｘ算子及主对称的换位公式．通过拓广速降函数空间及对 ＫＰ方程 Ｌａｘ算子的讨论，找到了 Ｌａｘ算子的表示向量；并通过对 Ｌａｘ算子、 Ｌａｘ流、 Ｌａｘ算子表示向量之间联系的讨论，得出了计算 Ｌａｘ算子李括号的表示向量的方法，从而解决了 ＫＰ方程主对称的换位公式问题．最后本文还利用伴随算子给出了从ＫＰ方程任一主对称得到其一个对称的公式．
二、KP系统Lax算子及主对称的换位公式（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、KP系统Lax算子及主对称的换位公式（论文提纲范文）
（1）非线性发展方程的无穷维Hamilton方法（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 Hamilton系统的发展情况 |
| §1.1.1 经典Hamilton系统(Hamilton系统的辛形式) |
| §1.1.2 广义Poisson流形上的广义Hamilton系统 |
| §1.1.3 无穷维Hamilton一般形式的正确给出阶段 |
| §1.1.4 例子与Hamilton系统分类图 |
| §1.2 无穷维Hamilton系统的研究方向概况 |
| §1.3 本文的选题背景及主要工作 |
| 第二章 无穷维Hamilton系统与可积性 |
| §2.1 预备知识 |
| §2.1.1 无穷维Hamilton算子与循环算子的相关判定定理 |
| §2.1.2 守恒律与对称等基本定义 |
| §2.1.3 bi-Hamilton理论中的基本定理 |
| §2.2 bi-Hamilton方法的应用:一个新可积系统的构建 |
| §2.2.1 引言 |
| §2.2.2 建立简化方程的bi-Hamilton结构 |
| §2.2.3 源于平面曲线运动的三阶NLEE的双Hamilton结构及其完全可积性 |
| §2.2.4 对一类特殊Hamilton算子的讨论 |
| §2.3 原始方程的其它可积特征:谱系及守恒律 |
| §2.3.1 谱系 |
| §2.3.2 守恒律 |
| 第三章 NLEEs的multi-Hamilton结构 |
| §3.1 关于确定multi-Hamilton形式的途径讨论 |
| §3.2 方程(1.3-20)tri-Hamilton形式的构建与证明 |
| 第四章 实现无穷维Hamilton正则化的方法及其应用 |
| §4.1 方法综述 |
| §4.1.1 基于Lagrange泛函导出Hamilton正则的方法 |
| §4.1.2 基于定义构造Hamilton正则形式的代数方法 |
| §4.1.3 对定义的新理解 |
| §4.2 获得无穷维Hamilton正则"(?)/(?)x"-型的新途径 |
| §4.2.1 符号与基本思想 |
| §4.2.2 正则分解的主要结果 |
| §4.2.3 构建正则表示的一个机械化代数方法 |
| §4.3 应用举例 |
| §4.3.1 常系数PDE中的应用 |
| §4.3.2 变系数PDE中的应用 |
| 第五章 AC=BD理论在无穷维Hamilton系统反问题中的应用 |
| §5.1 AC=BD模式引入反问题中的合理性 |
| §5.2 反问题的一个充分判断准则 |
| §5.2.1 引例与基于AC=BD的修正条件 |
| §5.2.2 可行性条件的应用 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 附录 第四章推广算例4.3.6为一般情形的计算 |
| 致谢 |
| 攻读博士期间发表论文目录 |
（2）孤子方程族的可积耦合系统和分数阶Hamiltonian结构（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 引言 |
| §1.2 孤子的发现和发展 |
| §1.3 可积系统的发展概况 |
| §1.4 非线性发展方程(组)精确求解的发展情况 |
| §1.5 分数微积分的历史和发展概况 |
| §1.6 本文的选题和主要工作 |
| 第二章 预备知识 |
| §2.1 Kac-Moody代数 |
| §2.1.1 单李代数A_l |
| §2.1.2 仿射李代数A_1~(1) |
| §2.1.3 对称,圈代数与Virasoro代数 |
| §2.2 Hamiltonian系统 |
| §2.3 AC=BD理论及应用 |
| §2.3.1 AC=BD理论及其基本思想 |
| §2.3.2 AC=BD应用 |
| 第三章 构造新的可积耦合方程族 |
| §3.1 Lax算子零曲率表示的代数结构 |
| §3.2 多分量TD方程族的可积耦合系统 |
| §3.2.1 多分量TD族 |
| §3.2.2 带有5个任意函数的多分量可积耦合系统 |
| §3.3 矩阵李代数和可积耦合系统 |
| §3.3.1 新的矩阵loop代数和应用 |
| §3.3.2 多分量C-KdV方程族的可积耦合系统 |
| §3.4 多分量方程族的Hamiltonian结构 |
| §3.4.1 广义的二次迹恒等式 |
| §3.4.2 多分量方程族的Hamiltonian结构 |
| §3.5 耦合方程族的R-矩阵 |
| §3.5.1 矩阵李代数和可积耦合系统 |
| §3.5.2 可积耦合系统的R-矩阵 |
| 第四章 构造非等谱的离散可积方程族和耦合系统 |
| §4.1 离散零曲率方程的基本代数结构 |
| §4.2 上三角矩阵李代数和离散可积耦合方程族 |
| §4.2.1 由上三角矩阵李代数到离散可积耦合系统 |
| §4.2.2 一个新的离散方程族 |
| §4.3 2+1-维非等谱离散可积耦合系统 |
| §4.4 非等谱Toda离散方程族 |
| §4.5 离散可积方程与连续可积方程的联系 |
| §4.5.1 一个新的离散方程族和它的Hamiltonian系统 |
| §4.5.2 离散方程族和多分量AKNS族的关系 |
| 第五章 分数形的零曲率方程和Hamiltonian系统 |
| §5.1 分数微积分定义及其性质 |
| §5.2 分数阶孤子方程的Hamiltonian结构 |
| §5.2.1 分数阶微积分简介 |
| §5.2.2 分数广义的Hamiltonian系统 |
| §5.3 分数阶零曲率方程 |
| §5.3.1 分数阶零曲率方程 |
| §5.3.2 分数阶Hamiltonian系统 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表学术论文、参加的课题及获奖情况 |
| 创新点摘要 |
| 致谢 |
（3）非线性方程中的对称和对称约化的新进展（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 引言 |
| 1 对称 |
| 1.1 对称 |
| 1.2 强对称和逆强对称算子 |
| 1.3 换位子、李代数和变换 |
| 1.4 3+1维Burgers方程的强对称算子和对称 |
| 1.5 小结 |
| 2 对称性约化及其新发展 |
| 2.1 CK直接法 |
| 2.2 经典李群法 |
| 2.3 李群约化的一个新发展:1+1维Burgers方程的无穷多对称和精确解 |
| 2.4 STO方程的新精确解: 正子、负子、复子和有理复子解 |
| 2.5 小结 |
| 3 总结和展望 |
| 参考文献 |
| 在学研究成果 |
| 致谢 |
四、KP系统Lax算子及主对称的换位公式（论文参考文献）
- [1]非线性发展方程的无穷维Hamilton方法[D]. 任文秀. 内蒙古大学, 2007(02)
- [2]孤子方程族的可积耦合系统和分数阶Hamiltonian结构[D]. 于发军. 大连理工大学, 2007(06)
- [3]非线性方程中的对称和对称约化的新进展[D]. 连增菊. 宁波大学, 2005(07)
- [4]KP系统Lax算子及主对称的换位公式[J]. 顾新身. 数学学报, 2001(01)