问：结合实例给出判定一个子群是否为正规子群的方法，并说明在代数系统研究中正规子群有什么重要应用？
- 答：有两个判定方法：
一个群中指数为2的子群一定是正规子群，例如n元对称群里的n次交代群。
另一个判定是：若H是G的子群，若H在G中的指数为G的阶中模绝弯的最小素因子时，H为G的正规子群。例如15阶循环群里的5阶子群为正规子群。
研宏陵究正规子群可以判断一个群是否为单群，也可决定群的结构，旦闷对学习群上的作用也有很大的帮助。
问：近世代数理论基础12：正规子群·商群·同态基本定理
- 答：设G是群, ,G不一定是交换群,故 ,左陪集与右陪集不一定相同,即不一定有
例：令 , ,取 ,则
显然
令 为G关于H的所有左陪集的集合,也是H在G上建立等价关带仔系所得到的剩余类的集合,定义继承群G的乘法空昌：
上述定义不是良性的,即可能存在 ,但
例：令 , ,在 上定义乘法
,即
定理：设G是群, ,则 定义的乘法是良性的当且仅当 ,有
证明：
定义：设 是群, ,若 ,有 ,即 ,则称H为G的正规子群,记作
设 是群,e为群G的单位元,易证 和G都是群G的正规子群,称为G的平凡正规子群
注：交换群的任意子群是正规子群
例：
1. 不是 的正规子群
2.设 , ,则 关于H的所有左陪蠢亏汪集为
关于H的所有右陪集为
显然
定理：设G是群, , ,定义集合 ,则 ,有
定理：设G是群, ,令 ,在 上定义乘法 ,则 关于该乘法构成一个群
证明：
定义：设G是群, ,称 为G关于N的商群
引理：设 分别是 的单位元,f是群G到 的同态,则
证明：
引理：设 是同态映射,则 ,有
证明：
设G是群, ,易证映射 是一个满同态,称为典范同态
设 是同态,集合 称为映射f的核
易证Ker(f)是G的子群
定理：设 是满同态,则 ,且
证明：
问：正规子群的性质的重要性
- 答：群的商群-群同态等。正规拿明子群的性质在群论和拓扑学中都有着广泛的应用陪粗，其重要性有：群的商群、群的结构、拓扑学中的应用、群同态。拓扑学是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一芦敏镇些性质的学科。
