一、解四阶抛物型方程的三层高精度显格式（论文文献综述）
乔寒月[1]（2021）在《一类变系数非齐次抛物型方程的差分格式解的性态研究及其模拟》文中研究表明在偏微分方程中,抛物型方程是一类含相关物理背景的偏微分方程.抛物型偏微分方程在研究热传导过程、部分扩散现象及电磁场传输等很多问题中有着广泛应用,更有广泛的应用前景.多年来,对常系数抛物型方程的研究已经有很多结果,在工程技术领域中,尤其是在地球物理及材料科学等领域的应用研究受到大家越来越多关注.而对于具有变系数非齐次的偏微分方程的研究,是具有一些的难度的,因为实际问题中的应用相当的广泛,所以借助于数值方法来求它的近似解具有非常重要的现实意义.变系数非齐次抛物方程包含很多种,可以是分别关于空间、时间的变系数;也可以是在空间和时间都可变系数的,在研究变系数抛物型方程时,由于方程本身的自由项、以及变系数性质导致解对初值是非常敏感的,数值计算结果也就不容易得到,即便是可以建立计算量小、计算速度快的数值方程,我们也要进一步关注数值解的可解性、稳定性以及收敛性,是否可以使得关注的问题在理论上得到充分的证明.有限差分是求解抛物型方程方法中的一种简单、高效、应用广泛的方法.本文将利用有限差分方法,对具有变系数非齐次的抛物型方程建立一个高精度的二阶差分格式;并严格分析差分格式的可解性、稳定性以及收敛性.共分为四个部分对其进行阐述,具体内容计划如下.第一部分主要对具有变系数的非齐次一维抛物方程的研究背景和意义进行说明,以及一维抛物型方程多年研究的相关数值方法的进展状况,并阐述本文的主要研究内容及其意义;在第二部分中首先建立了一个具有可变系数的非齐次一维抛物型方程的二阶差分格式,随后列出一些引理;再利用离散能量法严格分析差分格式解的可解性、稳定性和收敛性.此时时间、空间精度均为二阶.为了提高精度,再细致分析截断误差方程将其进行离散,应用Richardson外推算法,使得数值精度提高到空间、时间均为四阶,这也是本文最大的亮点.此方法不仅可以使得数值解具有高精度,而且是无条件稳定的,即可以取任意时间、空间步长.最后给出数值算例,通过数据模拟对理论证明部分进行验证说明,数据模拟结果充分说明理论证明部分的正确性,并且计算高效;第三部分主要想将上述方案推广到具有变系数非齐次的二维抛物型方程,在此部分进行说明;第四部分对整篇论文进行概括总结,阐述本篇论文成果,在此基础上展望未来还可以继续做的工作.
李明峻[2]（2021）在《四阶抛物方程的高效数值方法》文中提出梁的横振动问题在数学上可以归结为四阶抛物方程的初边值问题。为了对四阶抛物方程进行数值求解,本文提出了有限差分方法和五次样条元逼近方法。主要研究内容如下:首先,基于Taylor展开获得求解四阶抛物方程的三层差分显格式和隐格式,给出了局部截断误差的阶,即差分格式的收敛速度。引入人工边界对边界条件进行离散,利用离散Fourier分析证明了显格式条件稳定,隐格式绝对稳定。数值实验验证了理论结果。其次,基于四阶抛物方程的变分形式,以五次样条函数为形函数,构造一个多项式样条函数空间,在这个函数空间里求解。在空间方向使用有限元方法,将原问题转化为稀疏线性代数方程组;在时间方向使用中心差分方法,结合初始条件,得到了一个可以求解的全离散有限元格式。最后,通过构造两个辅助问题（稳态四阶问题和相似于原问题的非稳态四阶问题）,运用二阶常微分方程解的结构,利用矩阵的相似理论,证明了半离散格式的2最优误差估计。对全离散格式,给出了显格式的稳定性条件,分析了显格式的2-半范估计。估计对空间变量和时间变量(空间变量按H2-半范,时间变量按H1,∞范)是最优的。数值实验验证了理论结果。
侯波[3]（2020）在《求解对流方程的高精度紧致差分格式及软件实现》文中认为对流方程是一类重要的偏微分方程.因此,数值求解该类方程具有非常重要的理论价值和实际意义.本文建立了数值求解对流方程的高阶紧致差分格式.首先,针对一维对流方程,假设方程在（xi,tn+1/2）点成立,将方程在时间方向和空间方向上均采用泰勒级数展开及对截断误差余项中的三阶导数进行修正的方法对时间和空间导数进行离散,得到求解该方程的一种两层高精度紧致全隐格式HOC1.该格式在时间和空间上均具有四阶精度.再将方程在（xi,tn）处展开,得到一种三层高精度紧致差分格式HOC2.采用von Neumann方法分析了两种格式的稳定性.然后通过几个具有精确解的数值算例进行数值实验,验证了两种格式的稳定性和精确性.其次,针对二维和三维对流方程,利用局部一维化（LOD）方法分裂为几个一维问题进行求解.并将分裂后的一维对流方程在时间和空间上均采用泰勒级数展开及对截断误差余项中的三阶导数进行修正的方法对时间和空间导数进行离散,得到二维和三维对流方程的高精度紧致LOD格式,运用von Neumann方法分析了该格式的稳定性,然后通过数值算例验证了格式的精确性和可靠性.最后,将本文所推导的格式接入到“PHOEBESolver”[1]求解软件,使得偏微分方程数值解的相关学者更加方便地使用本文格式.
韩俊茹[4]（2019）在《线性双曲型方程的高精度紧致差分格式》文中进行了进一步梳理双曲型方程是一类重要的偏微分方程,由于寻求问题本身的精确解比较困难,因此采用数值方法来求解此类方程有极具深远的意义和实际应用价值.本文建立了求解线性双曲型方程的高阶紧致差分格式.首先,在空间上采用Kreiss提出的四阶紧致差分公式进行逼近,时间上采用Taylor级数展开及截断误差修正的方法,提出了一种求解一维线性双曲型方程的高精度紧致全隐格式.该格式在时间和空间上均具有四阶精度.采用Fourier方法分析了该格式的稳定性.然后通过几个具有精确解的数值算例进行数值验证,数值实验证明本文所提格式与文献中已有的数值方法的计算结果相比较,具有较好的稳定性和精确性.接下来,将一维线性双曲型方程的高精度紧致差分方法直接推广到二维问题,建立了时间和空间均具有四阶精度的紧致差分格式.此时需要迭代计算,采用修正的多重网格全近似格式,从而加快了迭代收敛速度,减少了迭代次数,节省了计算时间,提高了计算效率.通过一些具有精确解的算例进行数值验证.数值结果表明,本文方法在时间与空间上都能达到四阶精度,这与本文的理论分析相吻合,而且计算误差明显要比文献中的计算误差更小,计算精度高.最后,将本文所推导的格式接入到偏微分方程有限差分法求解软件,使得偏微分方程数值解研究人员更加方便地对本文格式进行使用计算和对比研究.
于海源[5]（2017）在《浓度对流扩散方程高精度差分格式的构造及其在环境中的应用》文中认为在现实的科学技术中,多数流体类问题都可以用浓度对流扩散方程来描述,如:污染物在水和大气中的分布以及行为归宿,都可以用浓度对流扩散方程描述。因此,构造稳定、高效、精度高的浓度对流扩散方程的求解算法,有着极为重要的理论和实际应用意义。目前较常用的数值解法有:有限体积法、有限元法、有限分析法以及有限差分法。在工程领域和科学研究中最为常用的是有限差分法,而具有高精度的有限差分法以其具有涉及网格点少,精度高的优点,成为众多学者研究的热点问题。本文通过两种方法构造具有高精度的差分格式,采用Von Neumann分析法及数值计算对其稳定性进行分析,并将其应用于环境问题当中。首先,在本文的第二章中通过待定系数法,针对浓度扩散方程和浓度对流扩散方程,构造了三层高精度差分格式,其精度可达到O（△t4,△x8）。通过引用相关数值算例进行数值计算,对数值解和精确解进行对比,发现二者数值基本一致,且二者间的误差可以达到理论误差,即本文所构造的三层差分格式有效且可以达到理论精度。其次,在本文的第三章中,将浓度关于时间的一阶偏导数在时间层n+1/2处进行离散。将空间n+1/2处的二阶偏导数,用第n+1和n时间层的空间二阶偏导数的平均值表示。为使空间上达到更高的精度,将浓度在空间上进行泰勒级数展开,进而构造两层高精度差分格式。当泰勒级数展开到第N项时,其精度可达到O（△t2,△xN）。通过数值算例验证本文所构造的两层差分格式有效,且可以达到理论精度。最后,在本文的第四章。以围油栏结合收油装置处理溢油问题为例,采用本文所构造的高精度差分格式,对油浓度的变化进行数值模拟,进而根据收油装置单位时间内的额定收油量,选择合适的收油速度。
祁应楠[6]（2016）在《求解一维抛物型方程的高精度有限差分方法》文中研究说明针对一维抛物型方程,采用样条函数近似和Padé公式,构造了一种高精度有限差分格式.该格式关于时间和空间均具有六阶精度,并且从理论上被证明是无条件稳定的.通过数值实验验证了本文方法的精确性和稳定性,与文献计算结果比较显示,本文格式的计算结果更加精确.
李燕,单双荣[7]（2012）在《解四阶杆振动方程的三层高精度差分格式》文中进行了进一步梳理对四阶杆振动方程构造含参数高精度三层差分格式,当参数满足一定条件时,差分格式稳定,局部截断误差阶数最高可达O（τ4+h8）.数值例子说明该方法对稳定性的分析是正确的.
崔晓鹏,单双荣[8]（2011）在《解四阶抛物型方程的两层高精度差分格式》文中指出对任意常数a>0的四阶抛物型方程,构造含参数的高精度两层差分格式.当参数满足一定的条件时,局部截断误差阶最高可达到O（τ2+h6）,并且是绝对稳定的.特殊情况下,则为一个条件稳定的两层显格式.数值例子表明,稳定性分析是正确的.
程涛,刘利斌[9]（2010）在《解四阶抛物型方程高精度紧致差分格式》文中研究说明针对四阶抛物型方程周期初值问题,提出了一个两层隐式差分格式和一个三层隐式差分格式.它们的局部截断误差分别为O（（Δt）2+（Δx）4）和O（（Δt）2+（Δt）（Δx）2+（Δx）4）,其中Δt,Δx分别为时间步长和空间步长.误差分析和数值实验均表明,本文构造的差分格式比经典的Crank-Nicolson格式和Saul’ev构造的差分格式精度更高.从精度及稳定性方面考虑,本文构造的格式也比文[5]的显式格式要好.
许秀娟[10]（2009）在《两类抛物型方程的有限差分法》文中认为本文介绍了两种抛物型方程――热传导方程和时滞非线性抛物型方程。其中热传导方程是描述大气污染物质浓度的扩散、沿海盐度和流体运动规律的微分方程。另一个是时滞非线性抛物型方程,它同样应用广泛,如在人口动力学、生态学、环境科学等领域中的数据模拟问题都可以归结为时滞非线性抛物性方程。因此,对抛物型方程数值解的研究具有十分重要的理论和实际应用意义。求抛物型方程数值解的方法有多种,如有限差分法、有限元法和边界元方法等,其中有限差分法是最常用的一种数值计算方法。本文就是应用有限差分方法对抛物型方程做出了两种差分格式。最后,我们对两种差分格式分别进行稳定性分析和算例检验。本文第一部分运用Crank-Nicolson隐式格式对热传导方程进行高精度隐式差分离散,然后我们用Fourer方法证明其稳定性,数值算例进一步说明了数值解法的有效性。本文第二部分是对时滞非线性抛物型方程数值解法的研究,运用了一种具有全局收敛性的单调迭代法求解其数值解,给出了迭代初值存在的条件及寻找方法。然后我们构造了单调迭代格式,并以有序上下解作为迭代初值。在本文中,我们不仅证明了单调格式的收敛性,还证明了解的存在性和唯一性。最后给出的数值算例进一步说明了数值解法的有效性。
二、解四阶抛物型方程的三层高精度显格式（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、解四阶抛物型方程的三层高精度显格式（论文提纲范文）
（1）一类变系数非齐次抛物型方程的差分格式解的性态研究及其模拟（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 引言 |
| 1.1 选题背景与研究现状 |
| 1.2 本文研究内容及其安排 |
| 1.3 记号及预备知识 |
| 第二章 一维变系数的非齐次抛物型方程 |
| 2.1 差分格式的建立 |
| 2.2 引理证明 |
| 2.3 差分格式解的可解性、稳定性和收敛性 |
| 2.4 Richardson外推法 |
| 2.5 数值算例 |
| 第三章 二维变系数的非齐次抛物型方程 |
| 3.1 差分格式的建立 |
| 3.2 引理证明 |
| 3.3 差分格式解的可解性、稳定性和收敛性 |
| 3.4 Richardson外推法 |
| 第四章 结论 |
| 4.1 全文总结 |
| 4.2 今后工作的展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读硕士期间取得的学术成果 |
（2）四阶抛物方程的高效数值方法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.3 选题依据 |
| 1.4 本文主要工作 |
| 第2章 四阶抛物方程的有限差分方法 |
| 2.1 有限差分方法的基本思想 |
| 2.2 四阶常微分方程的差分格式 |
| 2.3 数值实验1 |
| 2.4 四阶抛物方程的差分格式 |
| 2.5 稳定性分析 |
| 2.6 数值实验2 |
| 2.7 小结 |
| 第3章 四阶抛物方程的有限元方法 |
| 3.1 有限元方法的基本思想 |
| 3.2 四阶常微分方程的样条元逼近 |
| 3.3 数值实验1 |
| 3.4 四阶抛物方程的样条元逼近 |
| 3.5 L~2误差估计 |
| 3.6 H~2-半范估计(H~2范估计) |
| 3.7 数值实验2 |
| 3.8 小结 |
| 第4章 总结与展望 |
| 4.1 总结 |
| 4.2 展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间主要科研成果简介 |
（3）求解对流方程的高精度紧致差分格式及软件实现（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景和意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.3 本文主要工作 |
| 第二章 一维对流方程的高精度紧致差分格式 |
| 2.1 高精度紧致差分格式 |
| 2.1.1 高精度紧致差分格式(HOC1) |
| 2.1.2 高精度紧致差分格式(HOC2) |
| 2.2 稳定性分析 |
| 2.3 数值实验 |
| 2.4 本章小结 |
| 第三章 二维对流方程的高精度紧致LOD格式 |
| 3.1 高精度紧致LOD格式 |
| 3.2 稳定性分析 |
| 3.3 数值实验 |
| 3.4 本章小结 |
| 第四章 三维对流方程的高精度紧致LOD格式 |
| 4.1 高精度紧致LOD格式 |
| 4.2 稳定性分析 |
| 4.3 数值实验 |
| 4.4 本章小结 |
| 第五章 格式在“PHOEBESolver”软件上实现 |
| 5.1 软件介绍 |
| 5.2 格式在软件上的使用 |
| 5.3 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 总结 |
| 6.2 展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 个人简历及论文发表情况 |
（4）线性双曲型方程的高精度紧致差分格式（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景和意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.3 多重网格方法概述 |
| 1.4 本文主要工作 |
| 第二章 一维线性双曲型方程的高精度紧致差分格式 |
| 2.1 高精度紧致差分格式 |
| 2.2 稳定性分析 |
| 2.3 数值实验 |
| 2.4 结论 |
| 第三章 二维线性双曲型方程的差分格式及多重网格算法 |
| 3.1 高精度紧致差分格式 |
| 3.2 稳定性分析 |
| 3.3 多重网格方法 |
| 3.4 数值算例 |
| 3.5 结论 |
| 第四章 格式在偏微分方程有限差分法求解软件上实现 |
| 4.1 软件介绍 |
| 4.2 格式的接入过程 |
| 4.3 格式在软件上的使用 |
| 4.4 结论 |
| 第五章 总结与展望 |
| 5.1 总结 |
| 5.2 展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 个人简历及论文发表情况 |
（5）浓度对流扩散方程高精度差分格式的构造及其在环境中的应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 问题的研究背景和意义 |
| 1.1.1 有限元法 |
| 1.1.2 有限差分法 |
| 1.2 问题研究现状 |
| 1.2.1 高精度国内外研究 |
| 1.2.2 稳定性研究 |
| 1.2.3 发展趋势 |
| 1.3 本文主要内容 |
| 第2章 浓度对流扩散方程三层九点高精度隐格式 |
| 2.1 一维浓度扩散方程三层九点高精度格式的构造 |
| 2.1.1 离散计算区域 |
| 2.1.2 一维浓度扩散方程三层九点高精度格式推导 |
| 2.1.3 稳定性分析 |
| 2.1.4 数值算例 |
| 2.1.5 稳定性验证 |
| 2.1.6 精度验证 |
| 2.1.7 与文献的比较 |
| 2.2 一维浓度对流扩散方程三层九点高精度格式的构造 |
| 2.2.1 离散计算区域 |
| 2.2.2 一维浓度扩散方程三层九点高精度格式推导 |
| 2.2.3 稳定性分析 |
| 2.2.4 数值算例 |
| 2.2.5 稳定性验证 |
| 2.2.6 精度验证 |
| 2.3 小结 |
| 第3章 浓度对流扩散方程两层高精度差分格式 |
| 3.1 一维浓度扩散方程两层高精度格式的构造 |
| 3.1.1 离散计算区域 |
| 3.1.2 一维浓度扩散方程两层高精度格式的推导 |
| 3.1.3 稳定性分析 |
| 3.1.4 数值算例 |
| 3.1.5 精度验证 |
| 3.1.6 计算量分析 |
| 3.1.7 精度对比 |
| 3.2 一维浓度对流扩散方程两层高精度格式的构造 |
| 3.2.1 离散计算区域 |
| 3.2.2 一维浓度对流扩散方程两层高精度格式的推导 |
| 3.2.3 数值算例 |
| 3.2.4 精度验证 |
| 3.2.5 计算量分析 |
| 3.2.6 精度对比 |
| 3.3 小结 |
| 第4章 高精度差分格式在动边界溢油问题中的应用 |
| 4.1 海上溢油对海洋环境的危害 |
| 4.2 治理措施 |
| 4.3 数值模拟 |
| 4.3.1 问题描述 |
| 4.3.2 小网格数值模拟收油船以不同的速度进行收油 |
| 4.4 小结 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 附件1 |
| 攻读硕士期间公开发表论文 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
（6）求解一维抛物型方程的高精度有限差分方法（论文提纲范文）
| 1 高阶有限差分格式 |
| 2 格式的稳定性分析 |
| 3 数值算例 |
| 4 结论 |
（7）解四阶杆振动方程的三层高精度差分格式（论文提纲范文）
| 1 差分格式的构造 |
| 1) 当 |
| 2) 当 |
| 2 截断误差分析 |
| 1) θ0≠θ2 时, 并注意到 r=τ/h2 或 τ=O (h2) , 得: |
| 2) θ0=θ2时, 格式 (3) 为: |
| 3 稳定性分析 |
| 4 数值例子 |
（8）解四阶抛物型方程的两层高精度差分格式（论文提纲范文）
| 1 差分格式的构造 |
| 2 截断误差分析 |
| 3 稳定性分析 |
| 4 数值例子 |
（9）解四阶抛物型方程高精度紧致差分格式（论文提纲范文）
| 1 引 言 |
| 2 紧致差分格式的构造 |
| 2.1 紧致差分公式的推导 |
| 2.2 紧致差分格式的建立 |
| 3 差分格式的稳定性分析 |
| 4 数值例子 |
| 5 结果与讨论 |
（10）两类抛物型方程的有限差分法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 热传导方程数值方法研究现状 |
| 1.2 时滞抛物方程数值方法研究现状 |
| 1.3 单调迭代法介绍 |
| 1.4 本论文的主要研究内容 |
| 第2章 传统有限差分格式 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 古典显格式 |
| 2.3 古典隐格式 |
| 2.4 Crank-Nicolson隐式格式 |
| 2.5 本章小结 |
| 第3章 热传导方程的高精度隐式差分格式 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 差分格式的构造 |
| 3.3 稳定性分析 |
| 3.4 数值算例 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 非线性时滞抛物型方程的有限差分格式 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 有限差分格式的构造 |
| 4.3 有限差分解的存在性与唯一性 |
| 4.4 差分格式的收敛性 |
| 4.5 差分格式的稳定性 |
| 4.6 数值算例 |
| 4.7 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
四、解四阶抛物型方程的三层高精度显格式（论文参考文献）
- [1]一类变系数非齐次抛物型方程的差分格式解的性态研究及其模拟[D]. 乔寒月. 延边大学, 2021(02)
- [2]四阶抛物方程的高效数值方法[D]. 李明峻. 重庆交通大学, 2021
- [3]求解对流方程的高精度紧致差分格式及软件实现[D]. 侯波. 宁夏大学, 2020(03)
- [4]线性双曲型方程的高精度紧致差分格式[D]. 韩俊茹. 宁夏大学, 2019(02)
- [5]浓度对流扩散方程高精度差分格式的构造及其在环境中的应用[D]. 于海源. 大连海事大学, 2017(07)
- [6]求解一维抛物型方程的高精度有限差分方法[J]. 祁应楠. 西北师范大学学报(自然科学版), 2016(06)
- [7]解四阶杆振动方程的三层高精度差分格式[J]. 李燕,单双荣. 福州大学学报(自然科学版), 2012(02)
- [8]解四阶抛物型方程的两层高精度差分格式[J]. 崔晓鹏,单双荣. 华侨大学学报(自然科学版), 2011(06)
- [9]解四阶抛物型方程高精度紧致差分格式[J]. 程涛,刘利斌. 大学数学, 2010(02)
- [10]两类抛物型方程的有限差分法[D]. 许秀娟. 哈尔滨工业大学, 2009(S2)